Операции на классах групп
Определение 2.1. Всякое отображение множества всех классов групп в себя называется операцией на классах групп.
Операции мы будем обозначать, как правило, прямыми большими латинскими буквами. Результат операции , примененной к классу обозначается через Степень операции определяется так: Произведение операций определяется равенствами:
Введем операции следующим образом:
тогда и только тогда, когда вкладывается в качестве подгруппы в некоторую -группу;
тогда и только тогда, когда вкладывается в качестве нормальной подгруппы в некоторую -группу;
тогда и только тогда, когда является гомоморфным образом некоторой -группы;
тогда и только тогда, когда совподает с произведением некоторого конечного числа своих нормальных -подгрупп;
тогда и только тогда, когда имеет нормальные подгруппы такие, что
тогда и только тогда, когда является расширением -группы с помощью -группы;
тогда и только тогда, когда имеет нормальную подгруппу такую, что
Если , то вместо пишут Обратим внимание на тот факт, что если - нормальные подгруппы группы , причем для любого , то Заметим еще, что операцию можно определить с помощью понятия подпрямого произведения. Напомним (см. Каргаполов и Мерзляков [1]), что подгруппа прямого произведения называется подпрямым произведением групп если проекция на совпадает с Легко видеть, что тогда и только тогда, когда есть подпрямое произведение некоторого конечного числа -групп.
Определение 2.2. Класс называется замкнутым относительно операции или, более коротко, - замкнутым, если
Формацию можно определить теперь как класс групп, который одновременно -замкнут и -замкнут. -замкнутый класс согласно Гашюцу [3] называется насыщенным. -замкнутый класс групп называется гомоморфом. Класс групп называется замкнутым относительно подгрупп (нормальных подгрупп), если он -замкнут (соответственно -замкнут).
Лемма 2.1. . Если класс групп содержит единичную группу и -замкнут, то
Доказательство. Относительно операций и утверждение очевидно. Пусть - произвольный класс групп. Ясно, что Если , то в найдется нормальная подгруппа такая, что . Группа имеет нормальную подгруппу такую, что и Но тогда Так как , то , а значит, Таким образом, , что и требуется.
Пусть . Если , то имеет нормальную -подгруппу такую, что Группа имеет нормальную -подгруппу такую, что . Так как и , то из -замкнутости класса следует, что . Значит, , т.е. . Обратное включение очевидно.
Лемма 2.2. Для любого класса справедливо следующее утверждение:
Доказательство. Если , то Пусть Если , то , а значит, . Таким образом, . Пусть . Тогда имеет такие нормальные подгруппы , что Группа имеет такие нормальные подгруппы , что Так как , то , что и доказывает равенство
Лемма 2.3. Для любого класса имеет место включение
Доказательство. Если , то . Пусть и группа является подпрямым произведением групп , где . Рассмотрим функцию . Функция является гомоморфизмом группы в группу . Ясно, что
есть подпрямое произведение групп , причем . Следовательно, , и лемма доказана.
Лемма 2.4.
В работе Фишера, Гашюца и Хартли [1] введено следующее понятие, в некотором смысле двойственное определению формации.
Определение 2.3. Класс групп называется классом Фиттинга, если он одновременно -замкнут и -замкнут.
Класс Фиттинга мы будем в дальнейшем называть иначе радикальным классом. Ввиду двойственности (нормальная подгруппа - фактор-группа) формацию можно было бы назвать корадикальным классом.
Определение 2.4. Пусть непустой -замкнутый класс, содержащий 1. Обозначим через и назовем - радикалом группы произведение всех ее нормальных -подгрупп.
Классы являются радикальными. -радикал группы - это ее подгруппа Фиттинга -радикал обозначают иначе через и называют -радикалом. -радикал называют разрешимым радикалом; понятны также термины -нильпотентный радикал, -замкнутый радикал и т.д. Класс всех -нильпотентных групп является одновременно радикальным и корадикальным; - это -нильпотентный радикал группы .
В дальнейшем мы будем изучать формации, замкнутые относительно тех или иных операций; в частности, будут рассматриваться радикальные формации, т.е. формации, являющиеся одновременно и классами Фиттинга. Сейчас мы обратимся к задаче построение формаций с помощью операций
Теорема 2.1. Пусть и - формации, причем либо , либо замкнута относительно нормальных подгрупп. Тогда - формация, совпадающая с произведением
Определение 2.5. Пусть - некоторое множество групп. Пусть - пересечение всех тех формаций, которые содержат класс называется формацией, порожденной множеством групп
Заметим, что операцию часто обозначают иначе через Если то пишут вместо , причем в этом случае называют формацией, порожденной группой .
Теорема 2.2. Для любого класса имеет место равенство:
Доказательство. Если , то , и утверждение верно. Пусть . Так как , то класс является -замкнутым. есть класс и по лемме 2.2. Используя это и леммы 2.3 и 2.4, получаем
Последнее означает -замкнутость класса . Итак, - формация, содержащая , так как . Значит, . Обратное включение очевидно.
Лемма 2.5. Для любых элементов группы выполняются равенства Если - подгруппы группы , то выполняются следующие утверждения:
1)
2) для любого гомоморфизма группы ; в частности, если группа из нормализует и , то нормализует и
Лемма 2.6 Пусть - подгруппа нильпотентной группы , причем . Тогда
Доказательство. Для того чтобы доказать лемму, достаточно установить, что при любом натуральном выполняется включение:
При это верно, так как , а значит, . Предположим, что включение (*) справедливо при некотором . Тогда, используя лемму 2.5, получаем
Тем самым (*) доказано.
Теорема 2.3 (Брайант, Брайс, Хартли [1]). Если - такая подгруппа группы , что , то
Доказательство. Пусть - нильпотентная нормальная подгруппа группы , а - такая подгруппа из , что . Докажем индукцией по , что . Это верно, если . Поэтому будем считать, что . Рассмотрим следующие подгруппы прямого произведения
Очевидно, подгруппа нормализует и . Обозначим через подгруппу группы , порожденную подгруппами . Поскольку проекции на множители прямого произведения равны , то . Заметим еще, что , где нормальна в и нильпотентна как подпрямое произведение из .
Пусть - центр подгруппы , . Легко видеть, что , причем и поэлементно перестановочны; аналогично, и поэлементно перестановочны. Но тогда , абелева и нормальна в . Если , то , где , и если , то , что влечет . Следовательно, . Если абелева, то , и мы имеем
Предположим теперь, что . Ясно, что . Так как
то нильпотентна ступени . Так как , то изоморфна и имеет ступень , а потому согласно лемме 2.6 ее нормальное замыкание в имеет ступень . Так как нормализует и , то нормальна в . Итак, , причем . По индукции
Для группы и ее нильпотентной нормальной подгруппы ступени теорема также верна по индукции. Поэтому
Теорема доказана.
Теорема 2.4. (Нейман [1]) Формация, порожденная разрешимой группой, содержит лишь конечное число подформаций.
Доказательство. Пусть - подформация формации . Если , то по теореме 2.3 имеет место , что и требуется.
Экраны
Недостатком понятия групповой функции является то, что не всегда уплотнение -центрального ряда нормальными подгруппами является -центральным рядом.
Определение 3.1. Отображение класса всех групп в множество классов групп назовем экраном, если для любой группы выполняются следующие условия:
1) - формация;
2) для любого гомоморфизма группы ;
3) .
Из условия 2) вытекает, что экран принимает одинаковое значение на изоморфных группах, т.е. является групповой функцией в смысле определения 3.1. Кроме того, видно, что если - экран, то каждый f-центральный ряд после удаления повторений может быть уплотнен до f-центрального главного ряда, а значит, класс групп, обладающих f-центральными рядами, совподает с формацией .
Лемма 3.1. Пусть - экран, - группа операторов группы , - некоторая нормальная -допустимая подгруппа из . Если обладает нормальным -допустимым рядом, факторы которого -центральны относительно , то один из таких рядов проходит через .
Доказательство. Пусть дан ряд, удовлетворяющий условию леммы:
Пусть . Тогда ряд
будет искомым. В этом нетрудно убедиться, используя определение экрана и -изоморфизмы:
Лемма 3.2. Справедливы следующие утверждения:
1) пересечение любого непустого множества экранов также является экраном;
2) объединение любой непустой цепи экранов также является экраном.
Доказательство. Первое утверждение очевидно. Пусть непустое множество экранов является цепью, т.е. линейно упорядочено (с отношением частичной упорядоченности , введенным в определении 3.5). Тогда для любой группы множество формаций линейно упорядочено относительно включения, а следовательно, ввиду леммы 1.1 объединение является формацией. Тем самым лемма доказана.
Определение 3.2. Экран назовем:
1) p-однородным, если он p-постоянен и для любой группы и ее силовской p - подгруппы имеет место ;
2) однородным, если он p-однороден для любого простого p;
3) локальным, если он является локальной групповой функцией;
4) композиционным, если для любой группы имеет место , где пробегает все крмпозиционные факторы группы
5) пустым, если для любой неединичной группы ;
6) -экраном, если для любой группы .
-экран при будем называть единичным экраном.
Легко видеть, что каждый локальный экран является однородным, а каждый композиционный экран является примарно постоянным.
Пример 3.1. Пусть и - непустые формации, причем , а групповая функция такова, что для каждой нееденичной примарной группы и для любой непримарной группы . Тогда - однородный экран, не являющийся ни локальным, ни композиционным.
Пример 3.2. Пусть - непустая формация, а групповая функция такова, что для любой нееденичной группы выполняются условия:
1) , если не имеет абелевых композиционных факторов;
2) , если имеет хотя бы один абелев композиционный фактор.
Тогда - композиционный экран, не являющийся однородным.
Замечание 1. Локальный экран полностью определяется своими значениями на примарных подгруппах. Поютому, чтобы построить локальный экран , достаточно каждому простому числу поставить в соответствие некоторую формацию , а затем для любой группы положить , где пробегает .
Замечание 2. Чтобы построить композиционный экран , нужно каждой простой группе поставить в соответствие некоторую формацию , а затем для любой группы положить , где пробегает все композиционные факторы группы .
Лемма 3.3. Справедливы следующие утверждения: 1) пересечение любого непустого множества однородных экранов снова является однородным экраном;
2) пересечение любого непустого множества локальных экранов снова является локальным экраном;
3) пересечение любого непустого множества композиционных экранов снова является композиционным экраном.
Доказательство. Пусть экран является пересечением множества экранов . Предположим, что все экраны являются локальными, т.е. для любых и имеет место равенство:
где пробегает все примарные подгруппы группы . Тогда
а значит, - локальный экран.
Лемма 3.4. Объединение любой непустой цепи примарно постоянных экранов является примарно постоянным экраном.
Доказательство. Пусть - некоторая цепь экранов, - ее объединение, . По лемме 3.3 функция является экраном, причем ясно, что примарная постоянность влечет примарную постоянность экрана . Предположим, что все являются однородными экранами. Тогда, если - любая группа и , то . Следовательно,
что и доказывает однородность экрана .
Экраны формаций
Каждой групповой функции соответствует формация .
Лемма 3.5. является непустой формацией для любой групповой функции .
Определение 3.3. Пусть - некоторая формация. Если - такой экран, что , то формация называется ступенчатой формацией, причем в этом случае будем говорить, что
- экран формации ,
имеет экран ,
экран определяет формацию ,
определяется экраном .
Формация имеет единичный экран. Единичная формация имеет пустой экран.
Определение 3.4. Экран назовем внутреним, если - внутреняя групповая функция, т.е. для любой неединичной группы .
Лемма 3.6. Каждая ступенчатая формация имеет по крайней мере один внутрений экран.
Доказательство. Пусть - экран формации . Определим функцию следующим образом: для любой группы . Легко видеть, что - экран, причем . Если и - главный фактор группы , то . Так как класс -замкнут, то , а значит, -централен в . Таким образом, . Итак, , т.е. - искомый внутренний экран.
Лемма 3.7. Пусть - экран формации . Тогда является экраном формации .
Доказательство. Пусть - произвольный главный фактор группы . Пусть . Так как , то . Значит, , т.е. -централен в . Отсюда следует, что .
Обратно, если , то главный ряд группы будет -центральным для любого , т.е. . Итак, .
Лемма 3.8. Пересечение любого непустого множества экранов формации снова является экраном формации . Кроме того, если в имеется хотя бы один внутрений экран, то - внутрений экран.
Доказательство. То, что - экран формации , непосредственно следует из леммы 3.7. Пусть в имеется внутренний экран . Тогда для любой группы . Значит, - внутренний экран.