Максимальные факторизации симплектических групп

дипломная работа

Проективные преобразования

Геометрическое преобразование абстрактного векторного пространства на абстрактное векторное пространство - это биекция со следующим свойством: подмножество пространства тогда и только тогда является подпространством в , когда - подпространство в .

Очевидно, что композиция геометрических преобразований - геометрическое преобразование и преобразование, обратное к геометрическому, - также геометрическое. Геометрическое преобразование сохраняет включение, объединение и пересечение подпространств, а также ряды Жордана -- Гёльдера, поэтому справедливо следующее предложение.

Предложение Если - геометрическое преобразование пространства на , то для любых подпространств , пространства выполняются соотношения

Под проективным пространством пространства мы будем понимать множество всех подпространств пространства . Таким образом, состоит из элементов множества , являющихся подпространствами в ; - это частично упорядоченное множество, отношение порядка в котором индуцируется теоретико-множественным включением в . Любые два элемента и из имеют объединение и пересечение, а именно и , так что - решетка; она имеет наибольший элемент и наименьший элемент . Каждому элементу пространства сопоставляется число . Каждое из обладает рядом Жордана -- Гёльдера , и все такие ряды имеют длину . Положим

и назовем , , множествами прямых, плоскостей и гиперплоскостей пространства соответственно.

Проективность пространства на - это биекция со следующим свойством: для любых , из включение имеет место тогда и только тогда, когда .

Очевидно, что композиция проективностей - проективность и отображение, обратное к проективности, - также проективность. Проективность пространства на сохраняет порядок, объединения, пересечения и ряды Жордана -- Гёльдера для элементов пространств и , поэтому справедливо следующее предложение.

Предложение Если - проективность пространства на , то для любых элементов , из выполняются соотношения

В частности, отображает на и определяется своими значениями на , т. е. на прямых.

Если - геометрическое преобразование, то отображение , полученное из сужением, является проективностью пространства на . Всякая проективность , имеющая вид для некоторого такого , будет называться проективным геометрическим преобразованием пространства на . Черту мы будем всегда использовать для обозначения проективного геометрического преобразования , полученного описанным способом из геометрического преобразования . Таким образом, переводит подпространство пространства , т.е. точку из , в подпространство пространства . Имеем

В частности, композиция проективных геометрических преобразований и преобразование, обратное к проективному геометрическому, сами являются проективными геометрическими.

Геометрическое преобразование пространства есть по определению геометрическое преобразование пространства на себя. Множество геометрических преобразований пространства является подгруппой группы подстановок множества . Она будет обозначаться через и называться общей геометрической группой пространства . Под группой геометрических преобразований пространства мы будем понимать произвольную подгруппу группы . Общая линейная группа и специальная линейная группа являются, следовательно, группами геометрических преобразований. Под группой линейных преобразований будем понимать любую подгруппу группы .

Проективность пространства есть по определению проективность этого пространства на себя. Множество проективностей пространства - подгруппа группы подстановок множества , которую мы будем называть общей группой проективностей пространства . Применение черты индуцирует гомоморфизм

Иногда мы будем использовать вместо , полагая

для образа подмножества из при . В частности, и - подгруппы группы проективностей пространства , они называются проективной общей линейной группой и проективной специальной линейной группой пространства . Было доказано, что совпадает с группой всех проективностей пространства , поэтому мы используем это обозначение для обеих групп. Под группой проективностей пространства будем понимать любую подгруппу группы , а под проективной группой линейных преобразований пространства - любую подгруппу группы .

Для каждого ненулевого элемента из определим линейное преобразование , полагая

Ясно, что . Преобразование из вида для некоторого будем называть растяжением пространства . Множество растяжений пространства является нормальной подгруппой группы , которая будет обозначаться через . Очевидно, имеет место изоморфизм . Имеют место следующие два предложения.

Предложение Элемент группы тогда и только тогда принадлежит группе , когда для всех прямых из . В частности,

и

Предложение Централизатор в любого элемента из , не являющегося растяжением, абелев.

Пусть теперь - регулярное знакопеременное пространство. Тогда будет, конечно, группой геометрических преобразований пространства . Под группой симплектических преобразований знакопеременного пространства мы будем понимать произвольную подгруппу из . Группа , получаемая из применением гомоморфизма , называется проективной симплектической группой знакопеременного пространства . Под проективной группой симплектических преобразований пространства будем понимать любую подгруппу группы .

Предложение Если - ненулевое регулярное знакопеременное пространство, то

Доказательство является легким упражнением и потому опускается.

Предложение Если - регулярное знакопеременное пространство и , то .

Доказательство. Взяв симплектическую базу пространства , с помощью без труда убеждаемся, что элемент из тогда и только тогда лежит в , когда .

Полярностью абстрактного векторного пространства над полем называется биекция , , такая, что

1) ,

2)

для всех , из . Если - регулярное знакопеременное пространство над , то, очевидно, - полярность; она называется полярностью, определенной знакопеременной формой , имеющейся на .

Предложение Пусть - абстрактное векторное пространство над полем и . Предположим, что - регулярное знакопеременное пространство относительно каждой из двух знакопеременных форм и . Формы и тогда и только тогда определяют одну и ту же полярность, когда найдется такой ненулевой элемент из , что .

Доказательство. Если , то утверждение очевидно. Остается доказать обратное утверждение. Так как регулярно относительно и , то ввиду и ассоциированные линейные отображения и биективны, т. е. и . Из и предположения о том, что и определяют одну и ту же полярность, следует, что для всех подпространств из . Следовательно, - элемент группы , относительно которого инвариантны все подпространства из , В частности, относительно него инвариантны все прямые из . Значит, ввиду . Другими словами, найдется такой ненулевой элемент из , что для всех из . Но тогда для всех из . Поэтому .

Делись добром ;)