Максимальные факторизации симплектических групп

дипломная работа

Коммутанты

Предложение Если , - произвольные прямые из , то множество трансвекций из с вычетной прямой и множество трансвекций с вычетной прямой сопряжены относительно .

Доказательство. По теореме Витта в группе существует такой элемент , что . Тогда сопряжение элементом отображает множество трансвекций из с вычетной прямой на множество трансвекций из с вычетной прямой .

Пример Две трансвекций из не обязательно сопряжены в . Например, трансвекций с вычетной прямой , сопряженные с , имеют вид , где пробегает .

Замечание Пусть - симплектическая база пространства . Если - произвольная симметрическая матрица порядка 2 над и - линейное преобразование, определенное матрицей

то мы знаем, что принадлежит группе . Если преобразовать в , производя 1) прибавление кратного одного столбца к другому с последующим аналогичным преобразованием соответствующих строк или 2) перестановку двух столбцов с последующей перестановкой соответствующих строк, то линейное преобразование с матрицей

снова будет принадлежать группе , так как тоже будет симметрической. В действительности и сопряжены в . Чтобы убедиться в этом, заметим, что при подходящей матрице из . Преобразование , определенное матрицей

принадлежит группе , и , так как

Предложение Предположим, что , , и пусть - нормальная подгруппа группы , содержащая регулярный элемент с вычетом , представимый в виде произведения двух трансвекций из . Тогда .

Доказательство. Имеем разложение , где - регулярная плоскость. Рассмотрим группу

Тогда . Кроме того, . Это очевидно, если ; если же , то применяем 2.1.12 и теорему 2.1.11 . Поэтому - нормальная подгруппа в , не содержащаяся в . Отсюда следует, что . В частности, если - фиксированная прямая в , то содержит все трансвекции плоскости с вычетной прямой . Следовательно, содержит все трансвекции из с вычетной прямой , а потому в силу вообще все трансвекции из и .

Предложение Предположим, что , или , , и пусть - нормальная подгруппа группы , содержащая вырожденный элемент с вычетом 2, представимый в виде произведения двух трансвекций из . Тогда .

Доказательство. 1) Модификация рассуждений, использованных при доказательстве утверждения , позволяет считать, что , если , и , если .

2) Рассмотрим сначала случай , . Тогда имеет вид , причем , а звездочки равны . Далее эти трансвекции перестановочны, так как , поэтому мы можем, если нужно, заменить на и считать, что на самом деле . Можно считать, что эта новая есть . В самом деле, если , то с помощью теоремы Витта выберем такое , что , . Тогда

Заменим теперь на

Итак, можно считать, что . Дополним до симплектической базы

пространства и заметим, что

Подходящим сопряжением мы можем найти в линейные преобразования с матрицами

в базе . Произведение этих преобразований равно элементу из с матрицей

Следовательно, группа содержит . Таким образом, она содержит все (= обе) трансвекции из с вычетной прямой . Ввиду отсюда следует, что содержит все трансвекции из и, значит, .

3) Пусть теперь , . Тогда и . Дополним до симплектической базы

Тогда

Сопряжение дает нам в линейные преобразования с матрицами

а потому и с матрицами

а значит, и с матрицей

Другими словами, содержит и, следовательно, все трансвекции из , откуда .

Предложение Если , то за одним исключением: .

Доказательство. Пусть , для некоторого . По теореме Витта существует такое , что - плоскость и

Положим

Осталось применить и . В исключительном случае применяем и хорошо известные свойства группы .

Предложение Если , то за одним исключением: .

Делись добром ;)