Максимальные факторизации симплектических групп
Коммутанты
Предложение Если , - произвольные прямые из , то множество трансвекций из с вычетной прямой и множество трансвекций с вычетной прямой сопряжены относительно .
Доказательство. По теореме Витта в группе существует такой элемент , что . Тогда сопряжение элементом отображает множество трансвекций из с вычетной прямой на множество трансвекций из с вычетной прямой .
Пример Две трансвекций из не обязательно сопряжены в . Например, трансвекций с вычетной прямой , сопряженные с , имеют вид , где пробегает .
Замечание Пусть - симплектическая база пространства . Если - произвольная симметрическая матрица порядка 2 над и - линейное преобразование, определенное матрицей
то мы знаем, что принадлежит группе . Если преобразовать в , производя 1) прибавление кратного одного столбца к другому с последующим аналогичным преобразованием соответствующих строк или 2) перестановку двух столбцов с последующей перестановкой соответствующих строк, то линейное преобразование с матрицей
снова будет принадлежать группе , так как тоже будет симметрической. В действительности и сопряжены в . Чтобы убедиться в этом, заметим, что при подходящей матрице из . Преобразование , определенное матрицей
принадлежит группе , и , так как
Предложение Предположим, что , , и пусть - нормальная подгруппа группы , содержащая регулярный элемент с вычетом , представимый в виде произведения двух трансвекций из . Тогда .
Доказательство. Имеем разложение , где - регулярная плоскость. Рассмотрим группу
Тогда . Кроме того, . Это очевидно, если ; если же , то применяем 2.1.12 и теорему 2.1.11 . Поэтому - нормальная подгруппа в , не содержащаяся в . Отсюда следует, что . В частности, если - фиксированная прямая в , то содержит все трансвекции плоскости с вычетной прямой . Следовательно, содержит все трансвекции из с вычетной прямой , а потому в силу вообще все трансвекции из и .
Предложение Предположим, что , или , , и пусть - нормальная подгруппа группы , содержащая вырожденный элемент с вычетом 2, представимый в виде произведения двух трансвекций из . Тогда .
Доказательство. 1) Модификация рассуждений, использованных при доказательстве утверждения , позволяет считать, что , если , и , если .
2) Рассмотрим сначала случай , . Тогда имеет вид , причем , а звездочки равны . Далее эти трансвекции перестановочны, так как , поэтому мы можем, если нужно, заменить на и считать, что на самом деле . Можно считать, что эта новая есть . В самом деле, если , то с помощью теоремы Витта выберем такое , что , . Тогда
Заменим теперь на
Итак, можно считать, что . Дополним до симплектической базы
пространства и заметим, что
Подходящим сопряжением мы можем найти в линейные преобразования с матрицами
в базе . Произведение этих преобразований равно элементу из с матрицей
Следовательно, группа содержит . Таким образом, она содержит все (= обе) трансвекции из с вычетной прямой . Ввиду отсюда следует, что содержит все трансвекции из и, значит, .
3) Пусть теперь , . Тогда и . Дополним до симплектической базы
Тогда
Сопряжение дает нам в линейные преобразования с матрицами
а потому и с матрицами
а значит, и с матрицей
Другими словами, содержит и, следовательно, все трансвекции из , откуда .
Предложение Если , то за одним исключением: .
Доказательство. Пусть , для некоторого . По теореме Витта существует такое , что - плоскость и
Положим
Осталось применить и . В исключительном случае применяем и хорошо известные свойства группы .
Предложение Если , то за одним исключением: .