Основные результаты
Пусть - конечная группа, и - подгруппы группы . Будем говорить, что группа допускает факторизацию , если для всякого имеет место равенство , где , . Факторизация называется максимальной, если и максимальные подгруппы в группе . Мы рассмотрим максимальные факторизации симплектической группы , определенной над конечным полем .
Пусть и - целые числа, , . Если - простое число, делящее и не делящее числа для , то называют примитивным простым делителем числа .
Хорошо известно, что при , и всегда есть примитивный простой делитель числа . Пусть , где - простое число, - целое положительное число. Обозначим наибольший примитивный простой делитель числа (так, что делит и не делит для ). Определим как произведение всех примитивных простых делителей . Мы будем рассматривать максимальные факторизации группы . Отметим, что
Теорема Пусть , где - нечетное число. Если , где и - максимальные подгруппы группы , тогда , где - максимальная параболическая подгруппа группы , изоморфная и имеющая порядок
Доказательство. Предположим, что делит . Из следует, что является одной из следующих групп , , или . Пусть сначала . В этом случае . Из следует, что это в точности максимальная параболическая подгруппа группы и . Из сравнения порядков группы и произведения получаем следующую максимальную факторизацию:
Пусть теперь является одной из следующих групп , или . Из сказанного выше следует, что не изоморфна . Из пункта 2.4 получим, что есть или . По теореме 2.4D есть 3 или 7. Если , тогда 5 делит . В этом случае из следует, что одна из групп , , . Поскольку , то делит . Однако не делится на . Противоречие с тем, что . Следовательно, и . Так как 27 делит , то является параболической подгруппой группы и имеет место факторизация:
Теорема доказана.
Пусть , где - положительное число. Тогда ортогональная группа и . обозначает сплетение группы с группой , т.е. , где . Очевидно, что ; - максимальная параболическая подгруппа в порядка ; - группа Судзуки порядка , где .
Лемма Пусть . Тогда
Доказательство. Из следует, что является максимальной подгруппой в . Пусть и . Обозначим
где матрица в каноническом базисе симплектического пространства , , , . Тогда - диэдральная группа, которая фиксирует разложение:
Из следует, что стабилизатор этого разложения , и
Лемма доказана.
В приведенных обозначениях с учетом таблицы 1 и леммы получим:
Теорема Пусть , где . Если , где и - максимальные подгруппы в группе . Тогда
1) ,
2) ,
3) ,
4) ,
5) .