Математическая модель системы слежения РЛС
1.2.2 Принцип максимума
Гипотеза 1.3. Функция w(x) имеет при x x1 вторые непрерывные производные , а функции -- первые непрерывные производные .
Теорема 1.2. Предположим, что для рассматриваемого управляемого объекта, описываемого уравнением
(1.5)
И предписанного конечного состояния x1 выполнены гипотезы 1.1, 1.2 и 1.3. Пусть , -- некоторый процесс, переводящий объект из начального состояния x0 в состояние x1. Введем в рассмотрение функцию H, зависящую от переменных и некоторых вспомогательных переменных
- (1.6)
- С помощью этой функции H запишем следующую систему дифференциальных уравнений для вспомогательных переменных:
- (1.7)
- Тогда, если процесс является оптимальным, то существует такое нетривиальное решение , системы (1.7), что для любого момента t, , выполнено условие максимума
- (1.8)
- и условие
- Эта теорема значительно удобнее для отыскания оптимальных процессов, чем метод динамического программирования. Однако в приведенной здесь форме принцип максимума страдает тем же недостатком, что и метод динамического программирования: он выведен в предположении дифференцируемости (и даже двукратной) функции w(x), а эта функция, как уже отмечалось, в действительности не является всюду дифференцируемой.
- Однако принцип максимума доставляет достаточную информацию для решения поставленной задаче оптимального управления.
- Благодаря работам Р.В. Гамкрелидзе, принцип максимума был доказан для линейных систем. Им были доказаны теоремы существования, единственности и теорема о числе переключений.
- В данном случае функция Н принимает вид
- (1.9)
- Выражение (1.7) в векторной форме записывается в виде
- (1.10)
- а соотношение (1.8) принимает в данном случае вид
- (1.11)
- Теорема 1.3 (теорема существования). Область управляемости является выпуклым открытым множеством фазового пространства Х; для любой точки х0, принадлежащей области управляемости, существует оптимальное управление, переводящее точку х0 в начало координат.
- Примечание: Множество G называется открытым, если для каждой его точки можно найти шар с центром в этой точке, целиком принадлежащий множеству G, иначе говоря, множество G от