Математическая модель системы слежения РЛС

дипломная работа

1.2.2 Принцип максимума

Гипотеза 1.3. Функция w(x) имеет при x x1 вторые непрерывные производные , а функции -- первые непрерывные производные .

Теорема 1.2. Предположим, что для рассматриваемого управляемого объекта, описываемого уравнением

(1.5)

И предписанного конечного состояния x1 выполнены гипотезы 1.1, 1.2 и 1.3. Пусть , -- некоторый процесс, переводящий объект из начального состояния x0 в состояние x1. Введем в рассмотрение функцию H, зависящую от переменных и некоторых вспомогательных переменных

  • (1.6)
  • С помощью этой функции H запишем следующую систему дифференциальных уравнений для вспомогательных переменных:
  • (1.7)
  • Тогда, если процесс является оптимальным, то существует такое нетривиальное решение , системы (1.7), что для любого момента t, , выполнено условие максимума
  • (1.8)
  • и условие
  • Эта теорема значительно удобнее для отыскания оптимальных процессов, чем метод динамического программирования. Однако в приведенной здесь форме принцип максимума страдает тем же недостатком, что и метод динамического программирования: он выведен в предположении дифференцируемости (и даже двукратной) функции w(x), а эта функция, как уже отмечалось, в действительности не является всюду дифференцируемой.
  • Однако принцип максимума доставляет достаточную информацию для решения поставленной задаче оптимального управления.
  • Благодаря работам Р.В. Гамкрелидзе, принцип максимума был доказан для линейных систем. Им были доказаны теоремы существования, единственности и теорема о числе переключений.
  • В данном случае функция Н принимает вид
  • (1.9)
  • Выражение (1.7) в векторной форме записывается в виде
  • (1.10)
  • а соотношение (1.8) принимает в данном случае вид
  • (1.11)
  • Теорема 1.3 (теорема существования). Область управляемости является выпуклым открытым множеством фазового пространства Х; для любой точки х0, принадлежащей области управляемости, существует оптимальное управление, переводящее точку х0 в начало координат.
  • Примечание: Множество G называется открытым, если для каждой его точки можно найти шар с центром в этой точке, целиком принадлежащий множеству G, иначе говоря, множество G от

Делись добром ;)