Математическая обработка опытной информации

курсовая работа

1. Математическая обработка опытной информации

Цель работы: Освоить математическую обработку и графическое изображение опытной информации.

Определить средний доремонтный ресурс двигателя А-41и количество двигателей, которые потребуют ремонта с начала эксплуатации и до конца третьего интервала статистического ряда.

Составим сводную таблицу исходной информации в порядке возрастания показателей надежности.

1500

1620

1710

1830

1920

2010

2080

2180

2220

2280

2310

2380

2400

2420

2460

2520

2660

2740

2830

2860

2940

2990

3010

3040

3260

3330

3370

3440

3560

3670

3720

3860

Составим статистический ряд исходной информации

где tк - конечное или максимальное значение показателей надежности;

tсм - величина смещения;

А - величина интервала статистического ряда.

Таблица 1 - Статистический ряд исходной информации

Интервал

Среднее значение

Частота

Вероятность

Суммарная вероятность

Опыт.

Теор.

Опыт.

Теор.

Опыт.

Теор.

1236-1564

1400

1

0,3

0,031

0,198

0,031

0,01

1564-1892

1728

3

1,9

0,094

0,384

0,125

0,039

1892-2220

2056

5

3,5

0,156

0,682

0,281

0,148

2220-2548

2384

7

3,3

0,219

0,779

0,500

0,221

2548-2876

2712

4

2,6

0,125

0,837

0,625

0,302

2876-3204

3040

4

2,7

0,125

0,858

0,750

0,387

3204-3532

3368

4

2,8

0,125

0,844

0,875

0,437

3532-3860

3696

4

4,1

0,125

0,801

1,000

0,632

Опытная вероятность определяется по формуле:

где mi - опытная частота i-того интервала статистического ряда;

N - количество испытуемых двигателей.

Определяем среднее значение показателя надежности и абсолютную характеристику рассеивания - среднее квадратическое отклонение.

где n - количество интервалов статистического ряда tiс - значение среднего i-го интервала. Ропi - опытная вероятность i-го интервала.

Проверим опытную информацию на выпадающие точки. Проверку производим по правилу:

+ 3у =2561 + 1944 = 4594 мото-ч;

- 3у = 2561 - 1944 = 707 мото-ч.

Поскольку в границы обозначенные выражением входит вся имеющаяся опытная совокупность, то все точки данной совокупности являются достоверными

Графическое изображение опытного распределения показателя надежности.

Строим гистограмму, полигон и кривую накопленных вероятностей.

Определение относительной характеристики рассеивания показателя надежности, коэффициента вариации.

Выбор теоретического закона распределения, определение его параметров и графическое изображение дифференциальной и интегральной кривых.

Поскольку расчетное значение коэффициента вариации V превышает 0,33, то предпочтение отдаем закону распределения Вейбулла.

Уравнения, предопределяющие характер протекания дифференциальной и интегральной кривых

где а, b - параметры распределения Вейбулла.

где t - конечное значение i-го интервала.

Однако пользоваться данными уравнениями не представляется возможным, поскольку неизвестны параметры распределения Вейбулла «a» и «b».

Графический метод

где mi - опытная частота

b - параметр Вейбулла: b = 2…3,5.

Задаемся значениями «b» и при каждом из них определяем соответствующее значение y1 и y2.

b = 2,0y1 = 267y2 = 265

b = 2,5y1 =264y2 = 268

b = 3,0y1 = 262y2 = 270

b = 3,5y1 = 260y2 = 272

Значения y1 и y2 соответственно равны:

По полученным значениям у1 и у2 строим графики, проекция точки пересечения кривых у1 и у2 на ось абсцисс будет являться искомым значением параметра b.

b = 2,1

Примем b = 2

Найдем недостающий параметр «а» из уравнения:

математический надежность вариация усеченный

где N - количество испытуемых двигателей

b = 2,1;

a = 2743 мото-ч

Функция плотности вероятности закона распределения Вейбулла табулирована в таблице.

Функция распределения F(t) табулирована в таблице.

Проверка совпадения опытного и теоретического распределения по критерию согласия:

где mтi - теоретическая частота.

Определяем теоретическую частоту появления события в пределах каждого интервала статистического ряда:

где N - количество машин в совокупности или повторности информации;

F(ti+1) и F(ti) - смежные или рядом стоящие точки накопленной информации.

Используя, критерий согласия можно определить вероятность совпадения опытного и теоретического распределения показателя надежности, используя данные таблицы 7. Для входа в таблицу необходимо определить число степеней свободы, которое определяется по уравнению:

;

где n - число интервалов статистического ряда,

k - число обязательных связей.

По таблице 7 по пятой строке ищем вероятность совпадения опытного и теоретического распределения показателя надежности.

Вероятность совпадения опытного и теоретического распределений составляет примерно 15%.

Определяем доверительные границы рассеивания одиночного и среднего значений показателя надежности, а также наибольшее возможное значение абсолютной и относительной погрешности.

Для одиночного значения:

Для определения коэффициента Стьюдента tб задаемся величиной доверительной вероятности, тогда б = 0,80 и N/б = 36/0.80 = 45. Используя таблицу 10, получим tб = 1.3.

где Нk - значение квантиля при соответствующем параметре «b»

Для среднего значения:

где r1 и r3 коэффициенты Вейбулла, зависящие от величины доверительной вероятности и повторности информации

b - параметр распределения Вейбулла

r1 = 1.15; r3 = 0.88;

Определяем наибольшую возможную относительную ошибку:

Ответ: В результате математической обработки опытной информации по показателям надежности двигателей А - 41, установлено, что опытное распределение показателей надежности подчинено закону распределения Вейбулла с коэффициентом вариации V = 0,46 при, среднем значении показателя надежности 2651 мото-ч и среднем квадратическом отклонении у = 648 мото-ч. Вероятность совпадения опытного и теоретического распределений составляет примерно 15%. Доверительные границы рассеивания одиночного и среднего значений показателя надежности соответственно равны:

Величина абсолютной ошибки составляет Iб = 184 мото-ч.,

относительная предельная ошибка при, доверительной вероятности б = 0,80, равна 6,9% .

Графические изображения дифференциальной и интегральной кривой прилагаются.

2. Графический метод обработки информации по показателям надежности

При изготовлении вероятностной бумаги Вейбулла - Гнеденко выбираем миллиметровую бумагу. С этой целью на обе оси наносим точки, соответствующие значениям логарифмов нормального ряда чисел от 10° до 101 по оси ординат и от 10° до 102 по оси абсцисс. Если мантиссы учитываем с точностью до 2 знака и выбираем масштаб 1:1 (единица мантиссы соответствует 1 мм на чертеже). Эти точки будут отстоять от начала координат на следующих расстояниях:

Т2 - 30 мм

Т3 - 48 мм

Т4 - 60 мм

Т5 - 70 мм

Т6 - 78 мм

Т7 - 85 мм

Т8 - 90 мм

Т9 - 95 мм

Т10 - 100 мм

Последняя точка будет отстоять от начала координат на расстоянии 200 мм.

Откладываем значения нормированных квантилей распределения Вейбулла при параметре b = 2 (табл. 9) напротив квантилей пишем цифру, обозначающую величину соответствующей функции отказности F(t). Значение второй точки F(t) = 0.02 со значением квантиля Нк/ a=0,143, будет совпадать с точкой оси ординат 1,43. Значение F(t) = 0,1 со значением квантиля Нк/a= 3,25 логарифмической шкалы и т.д. до значений F(t) = 0,99 которое совпадает с точкой 21,5 логарифмической шкалы оси ординат. При выбранном масштабе в т. F(t) = 0,632 отстает от начала отсчета на расстоянии 100 мм, а поэтому все остальные точки отстают на величину квантиля умноженного на 10. Отличительной особенностью функциональной сетки вероятностной бумаги является то, что по ней определяют не характеристики рассеивания показателей надежности, а параметры Вейбулла (a, b). Для определения параметров “а” и “b” на функциональную сетку наносим вспомогательную ось координат, которая размечается в единицах параметра “b”. Для построения вспомогательной оси координат и проведения дальнейших расчетов на функциональную сетку наносим главную ординату с абсциссой в т. 101- Б, и главную абсциссу с ординатой 0,632 и точкой А на главной оси абсцисс с абсциссой 27,2 по логарифмической шкале. Нулевой точкой вспомогательной оси координат является точка ее пересечения с главной абсциссой. При выбранном масштабе (М 1:1) т. F(t) = 0,632 отсчета от начала отсчета на расстоянии 100 мм. Значение b = 0.5 отстоит от начала отсчета вспомогательной оси координат на расстоянии 11 мм, b = 1,0 на расстояние 22 мм, и т.д. Для проверки правильности построения функциональной сетки, необходимо точку начала координат соединить с точкой Б прямой пунктирной линией(100-Б - пунктирная линия) далее через точку А проводим пунктирную линию параллельную 100- Б до пересечения с главной ординатой 101- Б и точку пересечения проецируем на вспомогательную ось. Если проекция совпадает со значением b=2,0, то построение произведено, верно.

Производим расчет параметров распределения и определим характеристики рассеивания ресурса двигателя А-41, установленного на трактор ДТ-75М, пользуясь вероятностной бумагой Вейбулла-Гнеденко.

Таблица 2 - Статистический ряд информации по доремонтным ресурсам двигателей.

Интервал

1,236-1,564

1,564-1,892

1,892-2,22

2,22-2,584

2,584-2,876

2,876-3,204

3,204-3,532

3,532-3,86

Частота,

1

3

5

7

4

4

4

4

Вероятность Роп

0,031

0,094

0,156

0,219

0,125

0,125

0,125

0,125

0,031

0,125

0,281

0,500

0,625

0,750

0,875

1

Принимаем величину смещения 1236 мото-ч.

Как видно из статистического ряда, испытания проводились по плану (N,U,N) и из общего количества N=32 вышло из строя N0=32

Наносим на сетку значение накопленных опытных вероятностей по концам интервалов статистического ряда (см. рисунок 3).

По нанесенным точкам проводим прямую МN.

Определяем абсциссу точки пересечения прямой MN с главной абсциссой БА. Проекция точки пересечения на оси абсцисс является значением параметра а =2715 мото-ч.

Определяем параметр Вейбулла “b”. Для этого через точку А, находящуюся на главной абсциссе проведем прямую MN Р Р МN точки пересечения MN c главной ординатой 10 - Б проецируем на вспомогательную ось ординат и по ее шкале определяем искомое значение параметра b.

Определяем значение вспомогательных коэффициентов Вейбулла Кb и Сb.

Кb = 0,886

Определяем средний ресурс двигателя с учетом величины смещения

Определяем среднее квадратическое отклонение

Определяем значение коэффициента вариации

Делись добром ;)