1.8 Оценка параметров генеральной совокупности на основе выборочных данных

Расхождение между генеральной и выборочной совокупностями измеряется средней ошибкой выборки, которая рассчитывается следующим образом:

,

где n - число единиц в выборочной совокупности;

N - число единиц в генеральной совокупности.

Среднюю ошибку необходимо знать для того, чтобы определить возможные пределы для средней генеральной совокупности

Суждение о том, что средняя в генеральной совокупности будет лежать в пределах можно гарантировать не с абсолютной точностью, а с некоторой вероятностью.

Для этого рассчитывают предельную ошибку выборки по формуле:

,

где t - коэффициент доверия, определяемый в зависимости от вероятности по таблицам.

Таким образом, показатели генеральной совокупности для генеральной средней при заданной вероятности определяются по показателям выборочной совокупности следующим образом:

Рассчитаем среднюю ошибку для выборки по величине чистых активов:

= 396,52 (млн.руб.)

Найдем предельную ошибку для выборки по кредитным вложениям, принимая вероятность равной 0,95. По таблице находим коэффициент доверия t, равный 1,96.

Д = 396,52 * 1,96 = 777,18 млн.руб.

Таким образом, границы, в которых с вероятностью 0,95 будет находиться среднее значение показателя величины чистых активов, принимают вид:

1528 - 777,18 < х_ср < 1528 + 777,18

750,82 < х_ср < 2305,18 млн.руб.

1.9 Построение интервального вариационного ряда по величине прибыли

Построим вариационный ряд распределения по величине прибыли. Число групп определено в предыдущих расчетах и равно 6.

Величина интервала составляет

H = (913 - (-8)) / 6 = 153,5 млн.руб.

В таблице 6 приведена группировка банков по величине чистых активов

Таблица 6

1.10 Построение Графика

Для наглядного изображения интервального ряда распределения построим гистограмму. Она представлена на рисунке 5

Гистограмма распределения банков по величине прибыли

Рис.5

В таблице 6 рассчитана средняя величина прибыли по группировке

Х_ср = 132,33 млн.руб.

Так же среднюю величину для интервального ряда можно рассчитать по формуле средней арифметической взвешенной. В этом случае ее величина составит

Х_ср = 155,73 млн.руб.

Как видим две величины, рассчитанные разными способами значительно отличаются друг от друга. В дальнейших расчетах мы будем пользоваться средней величиной прибыли, рассчитанной в таблице 6, поскольку данная величина является более точной.

1.2.в) Расчет показателей вариации

Для характеристики структуры вариации рассчитываем структурные средние: моду и медиану.

М_о = -8 + 153,5*(21-0) / ((21-0) + (21-6)) = 81,54 млн.руб.

Рассчитаем медиану

Ме = -8 + 153,5* (15 - 0) / 21 = 28,55 млн.руб.- данная величина прибыли находится в середине совокупности.

Рассчитаем абсолютные показатели вариации

Размах вариации R = 913 - (- 8) = 921 млн.руб.

В таблице 7 представлены дополнительные расчеты для исчисления показателей вариации

Таблица 7

Среднее линейное отклонение

D = 144,1 млн.руб. - невзвешенная величина среднего линейного отклонения

D = 112,4 млн.руб. - взвешенная величина среднего линейного отклонения

Дисперсия

у² = 43 189,4² млн.руб.² - невзвешенная дисперсия

у² = 33 037,28² млн.руб.² - взвешенная дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

у = 207,82 млн.руб.- невзвешенное среднее квадратическое отклонение

у = 181,76 млн.руб.- взвешенное среднее квадратическое отклонение

Рассчитаем относительные показатели вариации

Коэффициент осцилляции

V_R = 921 / 132,3 * 100 = 696,1%

Относительное линейное отклонение

V_D = 144,1 / 132,3 * 100% = 108,9 %

V_D = 112,4/ 132,3 * 100% = 84,96 %

Коэффициент вариации

V_у = 207,82 / 132,3 * 100% = 157,1 %

V_у = 181,76 / 132,3 * 100% = 137,38 %

Коэффициент вариации для выборки по величине прибыли значительно больше, чем 33%, следовательно, совокупность неоднородна, а это означает, что среднее значение признака не является центром распределения.

1.11 Определение количественных характеристик распределения (показателей асимметрии и эксцесса)

М₃ = 20 997 502,5 - невзвешенный момент третьего порядка

М₃ = 17 630 989,7 - взвешенный момент третьего порядка

А_S = 20 997 502,5 / 207,82³ = 2,34

А_S = 20 997 502,5 / 181,76³ = 2,94

Найдем соотношение

= 2,34 / 0,412 = 5,67

= 2,94 / 0,412 = 7,14

Данное соотношение в обоих случаях (как при расчете невзвешенной величины, так и при расчете взвешенной величины) значительно больше 3, поэтому асимметрия признается существенной

В симметричных распределениях или распределениях с несущественной асимметрией рассчитывается показатель эксцесса. Поскольку в данном случае имеет место существенная асимметрия, но данный показатель может не рассчитываться.

1.12 Нахождение эмпирической функции, построение ее графика

Построим график эмпирического распределения банков в зависимости от величины прибыли. Для этого по оси абсцисс необходимо откладывать середину интервала значения признака, а по оси ординат, соответствующие ей частоты.

Рис.6

1.13 Определение теоретических частот по закону нормального распределения. Построение графиков

Таблица 8. Расчет теоретических частот

По найденным теоретическим частотам построим график теоретического распределения банков по величине прибыли.

Рис.7

При совмещении графиков теоретического и эмпирического распределения получится следующее:

Рис.8

1.14 Проверка гипотезы о подчинении изучаемых признаков нормальному закону распределения

Для проверки гипотезы о подчинении изучаемых признаков нормальному закону распределения воспользуемся критерием Романовского.

Таблица 9. Расчет значения критерия Пирсона для распределения по величине прибыли

Рассчитаем значение критерия Романовского

Р = = 11,63

Поскольку величина критерия Романовского больше 3 (равна 11,63), то гипотеза о распределении банков в зависимости от величины прибыли по закону нормального распределения отвергается.