Математическое моделирование технических объектов
1.2 Понятие математических моделей, их классификация и свойства
Модель - это физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта.
Математическая модель - это совокупность математических объектов и отношений между ними, адекватно отображающая физические свойства технического объекта.
На различных этапах и стадиях проектирования сложной технической системы используют различные математические модели. Математические модели могут представлять собой системы дифференциальных уравнений, системы алгебраических уравнений, простые алгебраические выражения, бинарные отношения, матрицы и так далее. Уравнение математической модели связывают физические величины.
К математическим моделям предъявляются требования адекватности, экономичности, универсальности. Модель считается адекватной, если отражаются исследуемые свойства с приемлемой точностью.
Математические модели технических объектов, используемые при проектировании, предназначены для анализа процессов функционирования объектов и оценки их выходных параметров. Они должны отражать физические свойства объектов, существенные для решения конкретных задач проектирования. При этом математическая модель должна быть как можно проще, но в то же время обеспечивать адекватное описание анализируемого процесса.
Используют следующие виды математических моделей: детерминированные и вероятностные, теоретические и экспериментальные факторные, линейные и не линейные, динамические и статистические, непрерывные и дискретные, функциональные и структурные.
По форме представления математических моделей различают:
1. Инвариантная модель - математическая модель представляющаяся системой уравнений (дифференциальных, алгебраических), вне свези с методом решения этих уравнений.
2. Алгебраическая модель - соотношение моделей связаны с выбранным численным методом решения и записаны в виде алгоритма (последовательности вычислений).
3. Аналитическая модель - представляет собой явные зависимости искомых переменных от заданных величин. Такие модели получают на основе физических законов, либо в результате прямого интегрирования исходных дифференциальных уравнений, используя табличные интегралы. К ним относятся также регрессионные модели, получаемые на основе результатов эксперимента.
4. Графическая модель - представляется в виде графиков, эквивалентных схем,
динамических моделей, диаграмм и тому подобное. Для использования графических моделей должно существовать правило однозначного соответствия условных изображений элементов графической и компонентов инвариантной математической модели.
Математические модели могут представлять собой функциональные зависимости между выходными, внутренними и внешними параметрами.
Деление математических моделей на функциональные и структурные определяется характером отображаемых свойств технического объекта.
Структурные модели отображают только структуру объектов и используются при решении задач структурного синтеза. Параметрами структурных моделей являются признаки функциональных или конструктивных элементов, из которых состоит технический объект и по которым один вариант структуры объекта отличается от другого. Такие модели имеют форму таблиц, матриц и графиков. Они наиболее широко используются на метоуровне при выборе технического объекта.
Функциональные модели описывают процессы функционирования технических объектов и имеют форму систем уравнений. Их широко используют на всех иерархических уровнях, стадиях и этапах при функциональном, конструкторском и технологическом проектировании.
По способам получения функциональные математические модели делятся на:
1. Теоретические модели - получают на основе описания физических процессов функционирования объекта.
2. Экспериментальные модели - получают на основе поведения объекта во внешней среде, рассматривая его как кибернетический "черный ящик".
При построении теоретических моделей используют физический и формальный подходы. Физический подход сводится к непосредственному применению физических законов для описания объектов. Формальный подход используется при построении как теоретические, так и экспериментальные модели.
Функциональные математические модели могут быть:
1. Линейные модели, содержащие только линейные функции фазовых переменных и их производных.
2. Нелинейные математические модели, включающие в себя нелинейные функции фазовых переменных и их производных.
Если при моделировании учитывается инерциальные свойства технического объекта и (или) изменение во времени параметров объекта или внешней среды, то модель называют динамической. В противном случаи модель статическая. Выбор динамической или
статической модели определяется режимом работы технического объекта. Математическое представление динамической модели в общем случаи может быть выражено системой дифференциальных уравнений, а статической - системой алгебраических уравнений. Динамическая модель может также представлять собой интегральные уравнения, придаточные функции, а в аналитической форме - явные зависимости фазовых координат или выходных параметров технического объекта от времени.