3.1 Понятие обратной матрицы. Единственность обратной матрицы
В теории чисел наряду с числом определяют число, противоположное ему () такое, что , и число, обратное ему такое, что . Например, для числа 5 противоположным будет число
(- 5), а обратным будет число . Аналогично, в теории матриц мы уже ввели понятие противоположной матрицы, ее обозначение (- А). Обратной матрицей для квадратной матрицы А порядка n называется матрица , если выполняются равенства
, (1)
где Е - единичная матрица порядка n.
Сразу же отметим, что обратная матрица существует только для квадратных невырожденных матриц.
Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если det A ? 0. Если же det A = 0, то матрица А называется вырожденной (особенной).
Отметим, что невырожденная матрица А имеет единственную обратную матрицу . Докажем это утверждение.
Пусть для матрицы А существует две обратные матрицы ,, то есть
и .
Тогда =М=М() =
= (М) ===.
Что и требовалось доказать.
Найдем определитель обратной матрицы. Так как определитель произведения двух матриц А и В одинакового порядка равен произведению определителей этих матриц, т. е. , следовательно, произведение двух невырожденных матриц АВ есть невырожденная матрица.
=1 .
Делаем вывод, что определитель обратной матрицы есть число, обратное определителю исходной матрицы.
- 1. Матрицы
- 1.1 Понятие матрицы. Типы матриц
- 1.2 Алгебра матриц
- 2. Определители
- 2.1 Определители квадратной матрицы и их свойства
- 2.2 Теоремы Лапласа и аннулирования
- 3. Обратная матрица
- 3.1 Понятие обратной матрицы. Единственность обратной матрицы
- 3.2 Алгоритм построения обратной матрицы свойства обратной матрицы
- Литература