Матрицы и определители
2. АЛГЕБРА МАТРИЦ
Рассмотрим действия над матрицами, но вначале введем несколько новых понятий.
Две матрицы А и В называются матрицами одного порядка, если они имеют одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов.
Пример. и - матрицы одного порядка 23;
и - матрицы разных порядков, так как 23?32.
Понятия ?больше? и ?меньше? для матриц не определяют.
Матрицы А и В называются равными, если они одного порядка mn, и = , где 1, 2, 3, …, m, а j = 1, 2, 3, …, n.
Умножение матрицы на число.
Умножение матрицы А на число л приводит к умножению каждого элемента матрицы на число л:
лА = , лR.
Из данного определения следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.
Пример.
Пусть матрица А =, тогда 5А==.
Пусть матрица В = = = 5.
Свойства умножения матрицы на число:
1) лА = Ал;
2) (лм)А = л(мА) = м(лА), где л,м R;
3) (лА) = лА;
4) 0МА = 0.
Сумма (разность) матриц.
Сумма (разность) определяется лишь для матриц одного порядка mn.
Суммой (разностью) двух матриц А и В порядка mn называется матрица С того же порядка, где = ± ( 1, 2, 3, …, m ,
j = 1, 2, 3, …, n.).
Иными словами, матрица С состоит из элементов, равных сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В.
Пример. Найти сумму и разность матриц А и В.
= , = ,
тогда =+==,
=-==.
Если же = , = , то А ± В не существует, так как матрицы разного порядка.
Из данных выше определений следуют свойства суммы матриц:
1) коммутативность А+В=В+А;
2) ассоциативность (А+В)+С=А+(В+С);
3) дистрибутивность к умножению на число лR: л(А+В) = лА+лВ;
4) 0+А=А, где 0 - нулевая матрица;
5) А+(-А)=0, где (-А) - матрица, противоположная матрице А;
6) (А+В)= А+ В.
Произведение матриц.
Операция произведения определяется не для всех матриц, а лишь для согласованных.
Матрицы А и В называются согласованными, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Так, если , , m?k, то матрицы А и В согласованные, так как n = n, а в обратном порядке матрицы В и А несогласованные, так как m ? k. Квадратные матрицы согласованы, когда у них одинаковый порядок n, причем согласованы как А и В, так и В и А. Если , а , то будут согласованы матрицы А и В, а также матрицы В и А, так как n = n, m = m.
Произведением двух согласованных матриц и
А=, В=
называется матрица С порядка mk:
=•, элементы которой вычисляются по формуле:
(1, 2, 3, …, m , j=1, 2, 3, …, k),
то есть элемент i -ой строки и j -го столбца матрицы С равен сумме произведений всех элементов i -ой строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В.
Пример. Найти произведение матриц А и В.
=, =,
•===.
Произведение матриц В•А не существует, так как матрицы В и А не согласованы: матрица В имеет порядок 22, а матрица А - порядок 32.
Рассмотрим свойства произведения матриц:
1) некоммутативность: АВ ? ВА, даже если А и В, и В и А согласованы. Если же АВ = ВА, то матрицы А и В называются коммутирующими (матрицы А и В в этом случае обязательно будут квадратными).
Пример 1. = , = ;
==;
==.
Очевидно, что ? .
Пример 2. = , = ;
= = =;
= = = .
Вывод: ?, хотя матрицы и одного порядка.
2) для любых квадратных матриц единичная матрица Е является коммутирующей к любой матрице А того же порядка, причем в результате получим ту же матрицу А, то есть АЕ = ЕА = А.
Пример.
=, =;
===;
===.
3) A?0 = 0?A = 0.
4) произведение двух матриц может равняться нулю, при этом матрицы А и В могут быть ненулевыми.
Пример.
= , = ;
= ==.
5) ассоциативность АВС=А(ВС)=(АВ)С:
? (?
Пример.
Имеем матрицы , , ;
тогда АМ(ВМС) = (?
(АМВ)МС=
===
==.
Таким образом, мы на примере показали, что АМ(ВМС) = (АМВ)МС.
6) дистрибутивность относительно сложения:
(А+В)•С = АС + ВС, А•(В + С)=АВ + АС.
7) (А•В)= В•А.
Пример.
=, =,
, =.
Тогда АВ=•==
= (А•В)= =
В•А=• = ==.
Таким образом, (А•В)= ВА.
8) л(АМВ) = (лА)М В = АМ (лВ), л,R.
Рассмотрим типовые примеры на выполнение действий над матрицами, то есть требуется найти сумму, разность, произведение (если они существуют) двух матриц А и В.
Пример 1.
, .
Решение.
1) + = = =;
2) - ===;
3) произведение не существует, так как матрицы А и В несогласованы, впрочем, не существует и произведения по той же причине.
Пример 2.
=, =.
Решение.
1) суммы матриц, как и их разности, не существует, так как исходные матрицы разного порядка: матрица А имеет порядок 23, а матрица В - порядок 31;
2) так как матрицы А и В согласованны, то произведение матриц АМВ существует:
?=?==,
произведение матриц ВМА не существует, так как матрицы и несогласованны.
Пример 3.
=, =.
Решение.
1) суммы матриц, как и их разности, не существует, так как исходные матрицы разного порядка: матрица А имеет порядок 32, а матрица В - порядок 23;
2) произведение как матриц АМВ, так и ВМА, существует, так как матрицы согласованны, но результатом таких произведений будут матрицы разных порядков: ?=, ?=.
?=?=
= = ;
?=?= =
= = в данном случае АВ ? ВА.
Пример 4.
=, =.
Решение.
1) +===,
2) -= ==;
3) произведение как матриц АМВ, так и ВМА, существует, так как матрицы согласованны:
?==?==;
?==?==
= ?, то есть матрицы А и В некоммутирующие.
Пример 5.
=, =.
Решение.
1) +===,
2) -===;
3) произведение как матриц АМВ, так и ВМА, существует, так как матрицы согласованны:
?==?==;
?==?==
= = АМВ=ВМА, т. е. данные матрицы коммутирующие.