Матрицы и определители

курс лекций

2. АЛГЕБРА МАТРИЦ

Рассмотрим действия над матрицами, но вначале введем несколько новых понятий.

Две матрицы А и В называются матрицами одного порядка, если они имеют одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов.

Пример. и - матрицы одного порядка 23;

и - матрицы разных порядков, так как 23?32.

Понятия ?больше? и ?меньше? для матриц не определяют.

Матрицы А и В называются равными, если они одного порядка mn, и = , где 1, 2, 3, …, m, а j = 1, 2, 3, …, n.

Умножение матрицы на число.

Умножение матрицы А на число л приводит к умножению каждого элемента матрицы на число л:

лА = , лR.

Из данного определения следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Пример.

Пусть матрица А =, тогда 5А==.

Пусть матрица В = = = 5.

Свойства умножения матрицы на число:

1) лА = Ал;

2) (лм)А = л(мА) = м(лА), где л,м R;

3) (лА) = лА;

4) 0МА = 0.

Сумма (разность) матриц.

Сумма (разность) определяется лишь для матриц одного порядка mn.

Суммой (разностью) двух матриц А и В порядка mn называется матрица С того же порядка, где = ± ( 1, 2, 3, …, m ,

j = 1, 2, 3, …, n.).

Иными словами, матрица С состоит из элементов, равных сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В.

Пример. Найти сумму и разность матриц А и В.

= , = ,

тогда =+==,

=-==.

Если же = , = , то А ± В не существует, так как матрицы разного порядка.

Из данных выше определений следуют свойства суммы матриц:

1) коммутативность А+В=В+А;

2) ассоциативность (А+В)+С=А+(В+С);

3) дистрибутивность к умножению на число лR: л(А+В) = лА+лВ;

4) 0+А=А, где 0 - нулевая матрица;

5) А+(-А)=0, где (-А) - матрица, противоположная матрице А;

6) (А+В)= А+ В.

Произведение матриц.

Операция произведения определяется не для всех матриц, а лишь для согласованных.

Матрицы А и В называются согласованными, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Так, если , , m?k, то матрицы А и В согласованные, так как n = n, а в обратном порядке матрицы В и А несогласованные, так как m ? k. Квадратные матрицы согласованы, когда у них одинаковый порядок n, причем согласованы как А и В, так и В и А. Если , а , то будут согласованы матрицы А и В, а также матрицы В и А, так как n = n, m = m.

Произведением двух согласованных матриц и

А=, В=

называется матрица С порядка mk:

=•, элементы которой вычисляются по формуле:

(1, 2, 3, …, m , j=1, 2, 3, …, k),

то есть элемент i -ой строки и j -го столбца матрицы С равен сумме произведений всех элементов i -ой строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В.

Пример. Найти произведение матриц А и В.

=, =,

•===.

Произведение матриц В•А не существует, так как матрицы В и А не согласованы: матрица В имеет порядок 22, а матрица А - порядок 32.

Рассмотрим свойства произведения матриц:

1) некоммутативность: АВ ? ВА, даже если А и В, и В и А согласованы. Если же АВ = ВА, то матрицы А и В называются коммутирующими (матрицы А и В в этом случае обязательно будут квадратными).

Пример 1. = , = ;

==;

==.

Очевидно, что ? .

Пример 2. = , = ;

= = =;

= = = .

Вывод: ?, хотя матрицы и одного порядка.

2) для любых квадратных матриц единичная матрица Е является коммутирующей к любой матрице А того же порядка, причем в результате получим ту же матрицу А, то есть АЕ = ЕА = А.

Пример.

=, =;

===;

===.

3) A?0 = 0?A = 0.

4) произведение двух матриц может равняться нулю, при этом матрицы А и В могут быть ненулевыми.

Пример.

= , = ;

= ==.

5) ассоциативность АВС=А(ВС)=(АВ)С:

? (?

Пример.

Имеем матрицы , , ;

тогда АМ(ВМС) = (?

(АМВ)МС=

===

==.

Таким образом, мы на примере показали, что АМ(ВМС) = (АМВ)МС.

6) дистрибутивность относительно сложения:

(А+В)•С = АС + ВС, А•(В + С)=АВ + АС.

7) (А•В)= В•А.

Пример.

=, =,

, =.

Тогда АВ=•==

= (А•В)= =

В•А=• = ==.

Таким образом, (А•В)= ВА.

8) л(АМВ) = (лА)М В = АМ (лВ), л,R.

Рассмотрим типовые примеры на выполнение действий над матрицами, то есть требуется найти сумму, разность, произведение (если они существуют) двух матриц А и В.

Пример 1.

, .

Решение.

1) + = = =;

2) - ===;

3) произведение не существует, так как матрицы А и В несогласованы, впрочем, не существует и произведения по той же причине.

Пример 2.

=, =.

Решение.

1) суммы матриц, как и их разности, не существует, так как исходные матрицы разного порядка: матрица А имеет порядок 23, а матрица В - порядок 31;

2) так как матрицы А и В согласованны, то произведение матриц АМВ существует:

?=?==,

произведение матриц ВМА не существует, так как матрицы и несогласованны.

Пример 3.

=, =.

Решение.

1) суммы матриц, как и их разности, не существует, так как исходные матрицы разного порядка: матрица А имеет порядок 32, а матрица В - порядок 23;

2) произведение как матриц АМВ, так и ВМА, существует, так как матрицы согласованны, но результатом таких произведений будут матрицы разных порядков: ?=, ?=.

?=?=

= = ;

?=?= =

= = в данном случае АВ ? ВА.

Пример 4.

=, =.

Решение.

1) +===,

2) -= ==;

3) произведение как матриц АМВ, так и ВМА, существует, так как матрицы согласованны:

?==?==;

?==?==

= ?, то есть матрицы А и В некоммутирующие.

Пример 5.

=, =.

Решение.

1) +===,

2) -===;

3) произведение как матриц АМВ, так и ВМА, существует, так как матрицы согласованны:

?==?==;

?==?==

= = АМВ=ВМА, т. е. данные матрицы коммутирующие.

Делись добром ;)