Метод геометрических преобразований при решении геометрических задач на построение

курсовая работа

2. Методика решения задач на построение

При решении каждой сколь-нибудь сложной задачи на построение возникает вопрос о том, как нужно рассуждать, чтобы разыскать способ решения задачи, чтобы получить все решения задачи. Чтобы выяснить условия возможности решения задачи и т.п. Поэтому ещё в IV в. до н.э. древнегреческие геометры разработали общую схему решения задач на построение, которой мы пользуемся и теперь. Процесс решения задачи разбивается на 4 этапа: анализ, построение. Доказательство и исследование. Рассмотрим каждый этап более подробно.

1. Анализ. Это подготовительный и в то же время наиболее важный этап решения задачи на построение, так как именно он даёт ключ к решению задачи. Цель анализа состоит в установлении таких зависимостей между элементами искомой фигуры и элементами данных фигур, которые позволили бы построить искомую фигуру. Это достигается с помощью построение чертежа-наброска, изображающего данные и искомые примерно в том расположении, как это требуется условием задачи. Этот чертёж можно выполнять «от руки». Иногда построение вспомогательного чертежа сопровождают словами: «предположим, что задача уже решена». [3, стр.30]

На вспомогательном чертеже следует выделить данные элементы и важнейшие искомые элементы. Практически часто удобнее начинать построение вспомогательного чертежа не с данной фигуры. А с примерного изображения искомой фигуры, пристраивая к ней данные так, чтобы они находились в отношениях, указанных в условии задачи.

Если вспомогательный чертёж не подсказывает непосредственного способа построения искомой фигуры, то пытаются обнаружить какую-либо часть искомой фигуры или вообще некоторую фигуру, которая может быть построена и которой затем можно воспользоваться для построения искомой фигуры. В более общем случае рассуждение ведётся следующим образом. Подмечают, что построение искомой фигуры Ф сводится к построению некоторой другой фигуры Ф1. Затем подмечают, что построение фигуры Ф1 сводится к построению фигуры Ф2 и т.д. После конечного числа шагов можно прийти к некоторой фигуре Фn, построение которой уже известно. [3, стр.31]

Полезно учесть следующие частные замечания, помогающие при проведении анализа.

1) Если на вспомогательном чертеже не удаётся непосредственно заметить необходимые для решения связи между данными и искомыми элементами, то целесообразно ввести в чертёж вспомогательные фигуры: соединить уже имеющиеся точки прямыми, отметить точки пересечения имеющихся линий, продолжить некоторые отрезки и т.д. Иногда бывает полезно проводить параллели или перпендикуляры к уже имеющимся прямым.

2) Если по условию задачи дана сумма или разность отрезков или углов, то эти величины следует изобразить на вспомогательном чертеже, если их ещё нет на нём. [3, стр.32]

3) В процессе проведения анализа бывает полезно вспомнить теоремы и ранее решённые задачи, в которых встречаются зависимости между элементами. Сходными с теми, о которых говорится в условии рассматриваемой задачи.

4) Проводя анализ на основании изучения некоторого чертежа-наброска, мы невольно связываем свои рассуждения в известной мере с этим чертежом. Тот способ решения, к которому мы приходим на основании анализа, может поэтому оказаться пригодным лишь для некоторых частных случаев. Чтобы получаемый нами способ решения был пригоден для возможно более широкого выбора данных, желательно изобразить искомую фигуру в возможно более общем виде. Например, искомый треугольник, если в условии задачи нет специального указания о его форме, надо изображать как разносторонний, четырёхугольник - как неправильный и т.п. Чем более общий случай мы разберём при анализе, тем проще будет провести в дальнейшем полное решение задачи. [3, стр.33]

2. Построение. Данный этап решения состоит в том, чтобы указать последовательность основных построений (или ранее решённых задач), которые достаточно произвести, чтобы искомая фигура была построена.

Построение обычно сопровождается графическим оформлением каждого его шага с помощью инструментов, принятых для построения.

3. Доказательство. Доказательство имеет целью установить, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям. [3, стр.34]

Доказательство обычно проводится в предложении, что каждый шаг построения действительно может быть выполнен.

4. Исследование. При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причём предполагается, что все шаги построения действительно выполнимы. Для полного решения задачи нужно ещё выяснить следующие вопросы:

1) всегда ли (т.е. при любом ли выборе данных) можно выполнить построение избранным способом;

2) можно ли и как построить искомую фигуру. Если изображённый способ нельзя применить;

3) сколько решений имеет задача при каждом возможном выборе данных. Рассмотрение всех тих вопросов и составляет исследование. Таким образом, исследование имеет целью установить условия решимости и определить число решений.

Иногда ставится также задача: выяснить, при каких условиях искомая фигура будет удовлетворять тем или иным дополнительным требованиям. Например. Может быть поставлен вопрос: при каких условиях искомый треугольник будет прямоугольным или равнобедренным? Или такой вопрос: при каких условиях искомый четырёхугольник окажется параллелограммом или ромбом? [3, стр.35]

Нередко школьники и даже учителя проводят исследование, в известной мере произвольно выбирая те или иные случаи, причём неясно, почему рассматриваются именно такие. А не какие-либо иные случаи. Остаётся неясным также, все ли возможные случаи рассмотрены. При исследовании решения сколь-нибудь сложной задачи такой подход может привести к потере решений, к тому, что некоторые случаи не будут рассмотрены.

Чтобы достигнуть необходимой планомерности и полноты исследования, рекомендуется проводить исследование «по ходу построения». Сущность этого приёма состоит в том, чтобы перебрать последовательно все шаги, из которых слагается построение, относительно каждого шага установить, всегда ли указанное на этом шаге построение выполнимо, а если выполнимо, то сколькими способами.

Для этого необходимо:

1) Выяснить, всегда ли существуют в действительности точки, прямые, окружности или другие фигуры, построение которых предполагается осуществить на каждом шаге намеченного построения, или же их существование зависит от специального выбора положения или размеров тех или иных фигур. Например, если предполагается построить точки пересечения окружности с прямой. То надо заметить. Что существование таких точек зависит от соотношения между радиусом этой окружности и расстоянием центра окружности от прямой.

Дальнейшее исследование надо проводить только для тех случаев, когда построение возможно. Т.е. когда важный шаг действительно приводит к построению искомых фигур.

2) Для каждого случая, когда решение существует, определить, сколько именно точек. Прямых, окружностей и т.д. даёт каждый шаг построения. Например, если строятся точки пересечения окружности и прямой, то надо учесть, что таких точек две, если радиус окружности больше расстояния центра от прямой, и одна, если радиус окружности равен расстоянию центра от прямой.

3) Учитывая результаты исследования каждого шага, обратиться к задаче в целом и установит, при каких условиях расположения данных фигур или при каких соотношениях их размеров задача действительно имеет решение, а при каких его не существует. Если возможно, выразить условия разрешимости формулой (в форме неравенства или Равенств).

4) Определить число возможных решений при каждом определённом предположении относительно данных, при котором эти решения существуют.

В итоге таких рассуждений решается вопрос о возможности построения данным способом. Но остаётся ещё открытым вопрос: не возникнут ли новые решения. Если изменить как-либо способ применения? [3, стр.36] Иногда удаётся доказать, что всякое решение данной задачи совпадает с одним из уже полученных решений; в этом случае исследование может считаться законченным. Если же это не удаётся, то можно предположить, что задача имеет другие решения, которые могут быть найдены другими способами. В этих случаях полезно ещё раз обратиться к анализу и проверить. Нет ли каких-либо иных возможных случаев расположения данных или искомых фигур. Которые не были предусмотрены ранее проведённым анализом.

Конечно, эта схема не является безусловно необходимой и неизменной. Не всегда удобно и целесообразно строго разделять отдельные её этапы и в точности осуществлять их в указанном порядке. Но по большей части указанная схема серьёзно помогает при решении конструктивных задач.

Делись добром ;)