2.1 Простейшие примеры

Пример 1. С помощью функции отобразить на плоскость прямую .

Решение.

Находим

Преобразуем прямую.Получаем.

Таким образом,

,

Подставляем в полученные уравнения:

и получаем

(1)

(2)

Из полученных уравнений исключаем х.

Из уравнения (1) находим х и получаем

(3)

Подставляем (3) в уравнение (2):

получаем

(4)

Изобразим полученные линии на рисунке 1.

а) б)

Рисунок 1 Конформное отображение прямой функцией

Ответ: Итак, прямая , расположенная в плоскости хОу , конформно отобразилась в кривую (параболу) расположенную в плоскости

Пример 2. Найти угол поворота и коэффициент искажения масштаба в точке при отображении :

, .

Решение.

При отображении с помощью функции угол поворота есть ,а коэффициент искажения масштаба в точке равен .

Находим

В точке имеем

(сжатие).

Ответ: (сжатие).

Пример 3. Найти угол поворота и коэффициент искажения масштаба в точке при отображении :

, .

Решение.

При отображении с помощью функции угол поворота есть,а коэффициент искажения масштаба в точке равен

Находим

В точке имеем

(растяжение).

Ответ: (растяжение).

Пример 4. Найти точки плоскости, в которых равен 1 коэффициент искажения масштаба при отображении:

.

Решение.

Коэффициент искажения масштаба в точке равен

.

Находим производную

.

По условию коэффициент искажения масштаба должен быть равен 1.

Следовательно,

Ответ: .

Пример 5. Найти точки плоскости, в которых равен 1 коэффициент искажения масштаба при отображении:

.

Решение.

Коэффициент искажения масштаба в точке равен

.

Находим производную

.

По условию коэффициент искажения масштаба должен быть равен 1.

Следовательно,

.

Ответ: .

Пример 6. Найти точки плоскости, в которых равен нулю угол поворота при отображении:

.

Решение.

При отображении с помощью функции угол поворота есть

где .

Находим

Так как ни при одном значении z, кроме z=0, то заданное отображении конформно в плоскости.

Ответ: Rez=0.

Пример 7. Найти точки плоскости, в которых равен нулю угол поворота при отображении:

.

Решение.

При отображении с помощью функции угол поворота есть

где .

Находим

Подставляем

.

Ответ: .

Пример 8. Показать, что угол между прямыми и не изменится при отображении .

Решение.

Находим

Таким образом,

Из полученных уравнений и уравнения исключаем у:

Теперь решаем для прямой :

(5)

(6)

Подставляем в уравнения (5) и (6) и получаем

,

где любое.

Проиллюстрируем полученное решение на рисунке 2,б.

Рисунок 2 - Конформное отображение прямых и функции

Тогда

Ответ: ,.