Метод конформных отображений в механике сплошных сред
3.3.1 Об обтекании произвольного контура
Если известно течение в плоскости , заданное комплексным потенциалом
(31)
то конформное преобразование плоскости в плоскость
(32)
позволяет построить новое течение, комплексный потенциал которого будет вида
(33)
Так как при конформном отображении линии тока переходят в линии тока, то непроницаемые стенки, ограничивающие течение (31), перейдут в новые границы, ограничивающие течение (33). Далее , так как при конформном преобразовании сохраняются особые точки течения , (33) будет комплексным потенциалом течения, описывающим обтекание новых границ старым потоком, который задаётся особыми точками (31).
В ряде случаев преобразование плоскости в плоскость задаётся функцией, обратной (32):
(32.1)
где F осуществляет конформное преобразование плоскости в плоскость .
Совокупность соотношений
можно рассматривать как параметрическое задание течения (33).
Если в качестве (31) выбрать обтекание окружности и если (32) или (32.1) осуществляет преобразование окружности в какой-либо контур, то обтекание последнего течением, обладающим теми же особенностями, что и течение, обтекающее окружность, будет записываться комплексным потенциалом
(34)
Так как при конформном преобразовании из окружности можно получить любой контур , то (34) представляет собой комплексный потенциал, который описывает обтекание произвольным потоком произвольного контура , где осуществляет конформное преобразование плоскости в плоскость , при котором заданный контур переходит в окружность.