1.3 Примеры решения уравнений с помощью метода Ньютона
Рассмотрим применение метода Ньютона на примерах.
1) Пусть нам дана функция f(x) = sin2x-lnx, если 1,3<x<1,5. Необходимо найти корень уравнения с точностью до 0,0001.
Найдем первую и вторую производные исходной функции:
Таблица 1
x |
f(x) |
||
1,3 |
0,253137 |
-1,47029 |
|
1,5 |
-0,26435 |
-0,12004 |
Так как, при x = 1,5, то за x0, берем x = 1,5.
Таблица 2
x |
f(x) |
xn-xn-1 |
||
1,5 |
-0,2643451 |
-2,64665166 |
||
1,40012093 |
-0,001798363 |
-2,59883069 |
-0,0998707 |
|
1,39942894 |
-0,0000001988 |
-2,59825545 |
-0,00059199 |
|
1,39942887 |
-0,00000000000000003 |
-2,59825539 |
-0,00000007 |
|
1,39942887 |
Так как , то на данном шаге можно остановится.
Ответ:
2) Решить уравнение с .
Так как нам не дан интервал, которому принадлежит корень уравнения, то для локализации корней применим графический способ. Преобразуем исходное уравнение к следующему эквивалентному виду:
Рис. 2
Построив графики функций и , определяем, что у решаемого уравнения имеется только один корень, который находится в интервале 0.4<x<0.6. На данном интервале действительно содержит корень уравнения, т.к.
Уточним значение корня с требуемой точностью, пользуясь методом Ньютона.
Для корректного использования данного метода необходимо определить поведение первой и второй производной функции на интервале уточнения корня и правильно выбрать начальное приближение x0.
Для функции имеем:
и - положительные во всей области определения функции. В качестве начального приближения необходимо выбрать правую границу интервала x0=0.4, для которой выполняется неравенство:
Таблица 3 Результаты вычислений
Номер итерации |
x0 |
F(x0) |
F(x0) |
R |
xn-xn-1 |
|
0 |
0,6 |
1,107982086 |
9,615964 |
0,115223192 |
||
1 |
0,484777 |
0,083308362 |
8,257956 |
0,010088255 |
-0,115223 |
|
2 |
0,474689 |
0,000690164 |
8,153249 |
0,000084649 |
-0,010088 |
|
3 |
0,474604 |
0,000001368 |
8,152379 |
0,000000168 |
-0,000085 |
Так как, на третьем шаге , то дальнейшие итерации можно не производить.
Ответ:
- Введение
- 1. Метод Ньютона
- 1.1 Геометрическая интерпретация метода Ньютона
- 1.2 Алгоритм решения задач с помощью метода Ньютона
- 1.3 Примеры решения уравнений с помощью метода Ньютона
- 2. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений
- 2.1 Метод итераций
- 2.1.1 Пример решения системы уравнений с помощью метода итераций
- 2.2 Метод Ньютона
- 2.2.1 Пример решения системы уравнений с помощью метода Ньютона
- 2.3 Метод спуска
- Заключение
- 3.2. Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений 26
- 15.3. Методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений
- 4.4. Метод Ньютона решения системы нелинейных уравнений. Теорема о сходимости метода.
- Метод Ньютона (касательных)
- Методы решения систем нелинейных уравнений
- 5.2. Методы решения нелинейных уравнений
- 12. Методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений
- 9.2 Решение систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона
- 1 Решение нелинейных уравнений методом Ньютона