Метод Ньютона (метод касательных). Решение систем нелинейных алгебраических уравнений

1.3 Примеры решения уравнений с помощью метода Ньютона

Рассмотрим применение метода Ньютона на примерах.

1) Пусть нам дана функция f(x) = sin2x-lnx, если 1,3<x<1,5. Необходимо найти корень уравнения с точностью до 0,0001.

Найдем первую и вторую производные исходной функции:

Таблица 1

x	f(x)
1,3	0,253137	-1,47029
1,5	-0,26435	-0,12004

Так как, при x = 1,5, то за x₀, берем x = 1,5.

Таблица 2

x	f(x)		xn-xn-1
1,5	-0,2643451	-2,64665166
1,40012093	-0,001798363	-2,59883069	-0,0998707
1,39942894	-0,0000001988	-2,59825545	-0,00059199
1,39942887	-0,00000000000000003	-2,59825539	-0,00000007
1,39942887

Так как , то на данном шаге можно остановится.

Ответ:

2) Решить уравнение с .

Так как нам не дан интервал, которому принадлежит корень уравнения, то для локализации корней применим графический способ. Преобразуем исходное уравнение к следующему эквивалентному виду:

Рис. 2

Построив графики функций и , определяем, что у решаемого уравнения имеется только один корень, который находится в интервале 0.4<x<0.6. На данном интервале действительно содержит корень уравнения, т.к.

Уточним значение корня с требуемой точностью, пользуясь методом Ньютона.

Для корректного использования данного метода необходимо определить поведение первой и второй производной функции на интервале уточнения корня и правильно выбрать начальное приближение x₀.

Для функции имеем:

и - положительные во всей области определения функции. В качестве начального приближения необходимо выбрать правую границу интервала x₀=0.4, для которой выполняется неравенство:

Таблица 3 Результаты вычислений

Номер итерации	x0	F(x0)	F(x0)	R	xn-xn-1
0	0,6	1,107982086	9,615964	0,115223192
1	0,484777	0,083308362	8,257956	0,010088255	-0,115223
2	0,474689	0,000690164	8,153249	0,000084649	-0,010088
3	0,474604	0,000001368	8,152379	0,000000168	-0,000085

Так как, на третьем шаге , то дальнейшие итерации можно не производить.

Ответ:

Содержание