Метод Ньютона и его модификации

реферат

2. Модификации метода Ньютона

Теоремы 1 и 2 и формула (5) предполагают, что производная функции f(x) внутри отрезка [a, b] не обращается в нуль. Если число x - кратный корень уравнения (1) то f (x) =0. Но итерационный процесс Ньютона сходится, когда x кратный корень уравнения (4), но сходимость линейная. Если известен m - показатель кратности корня x, то рекомендуется вести вычисление по формуле:

. (10)

Такую модификацию называют методом Ньютона-Шредера.

Для уменьшения затрат, связанных с вычислением производной вычисление можно вести по формуле:

. (11)

Такую модификацию называют упрощенным методом Ньютона. Этот метод утрачивает высокую сходимость.

Вместо производной в формуле (5) берут ее приближенное значение по формуле

.

Это приводит к так называемому разностному методу Ньютона:

Рисунок 2

. (12)

Параметр hk связывается с номером итерации.

Если взять параметр hk = xk -1 - xk , то получим формулу

, (12)

где числа x0 и x1 должны задаваться. Такую модификацию называют двух шаговым методом Ньютона или методом секущих.

Метод секущих обеспечивает за два шага квадратичную сходимость, но худшую сходимость, чем метод Ньютона. Число x1 выбирается близким к числу x0. Окончание счета контролируют малостью модулей невязок |f(xk)|, или поправок | xk -1 - xk |.

Алгоритм нахождения корня методом Ньютона.

Ввод: Функция f(х), производная f(х), точность вычисления e корня, допуск d - малое число, связанное с реальной точностью вычисления f(х), f(х). Промежуток [a, b] существования корня.

Вывод: корень с уравнения.

c:=a; если f(c)*f (c) < 0, то c:=b;

1. d:= c -f(c)/f (c));

если |c - d| <e, то конец

в противном случае вычислить f(c);

если |f(c)| <d, то конец

идти к шагу 1.

Пример. Методом Ньютона найти корень уравнение x2 - sin x - 1 = 0 (точность 0,01) в интервале (1, p). Имеем f(х) = x2 - sin x - 1, a = 1, b = p » 3,1416, e = 0,01, d = 0,001. Находим f (х) = 2x - cos x, f (х) = 2 - sin x, c = b.

Таблица 1

Шаг

1

2

3

4

5

c

3,1416

1,9238

1,5034

1,4141

1,4096

f(c)

8,8700

1,7626

0,2626

0,0121

-

f (c)

7,2832

4,1932

2,9396

2,6722

-

Корень уравнения: x = 1,41 ±0,01 .

Делись добром ;)