Метод простой итерации для решения систем линейных алгебраических уравнений

курсовая работа

2. Математическая постановка задачи и описание метода

2.1 Математическая постановка задачи

Исследовать метод простой итерации для решения систем линейных алгебраических уравнений, а именно: влияние способа перехода от системы F(x)=x к системе x=(x) на точность полученного решения, скорость сходимости метода, время счета, число операций.

2.2 Описание метода

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений в виде Ax=b (2.2.1).

Пусть (2.2.1.) приведена каким-либо образом к виду x=Cx+f (2.2.2), где C - некоторая матрица, f - вектор-столбец. Исходя из произвольного вектора

x01

x( 0 )= x02

x03

строим итерационный процесс x( k+1 )=Cx( k )+f (k=0,1,2,3,…) или в развернутой форме

x1 ( k+1 ) = c11 x1( k ) + c12 x2( k ) + …+ c1n xn( k ) + f1 , (2.2.3)

xn ( k+1 ) = cn1 x1( k ) + cn2 x2( k ) + …+ 1nn xn( k ) + fn .

Производя итерации, получим последовательность векторов x( 1 ), x( 2),…, x( k ),… Доказано, что если элементы матрицы C удовлетворяют одному из условий

(i=1,2,…,n) (2.2.4)

(j=1,2,…,n) (2.2.5),

то процесс итерации сходится к точному решению системы x при любом начальном векторе x(0), то есть

x=x( k ) .

Таким образом, точное решение системы получается лишь в результате бесконечного процесса, и всякий вектор x(k) из полученной последовательности является приближенным решением. Оценка погрешности этого приближенного решения x(k) дается одной из следующих формул:

| xi - xi( k ) | | xi( k ) - xi( k -1 )|, (2.2.4)

если выполнено условие (2.2.4), или

| xi - xi( k ) | | xi( k ) - xi( k -1 )|, (2.2.5)

если выполнено условие (2.2.5). Эти оценки можно еще усилить соответственно так:

max | xi - xi( k ) | | xi( k ) - xi( k -1 )|, (2.2.4)

или

| xi - xi( k ) | | xi( k ) - xi( k -1 )|. (2.2.5)

Процесс итераций заканчивают, когда указанные оценки свидетельствуют о достижении заданной точности.

Начальный вектор x( 0 ) может быть выбран, вообще говоря, произвольно. Иногда берут x( 0 )=f. Однако, наиболее целесообразно в качестве компонент вектора x( 0 ) взять приближенные значения неизвестных, полученные грубой прикидкой.

Приведение системы (2.2.1) к виду (2.2.2) можно осуществить различными способами. Важно только, чтобы выполнялось одно из условий (2.2.4) или (2.2.5). Ограничимся рассмотрением двух таких способов.

Первый способ. Если диагональные элементы матрицы А отличны от нуля, то есть

aii0 ( i=1,2,…,n),

то систему (2.2.1) можно записать в виде

x1= (b1 - a12 x2 - … - a1n xn ),

x2= (b2 - a21 x1 - a23 x3 -… - a2n xn ), (2.2.6)

xn= (bn - an1 x1 - … - an n-1 xn-1 ).

В этом случае элементы матрицы С определяются следующим образом:

(ij), cii=0,

и тогда условия (2.2.4) и (2.2.5) соответственно приобретают вид

(i=1,2,… ,n), (2.2.7)

(j=1,2,… ,n). (2.2.8)

Неравенства (2.2.7), (2.2.8) будут выполнены, если диагональные элементы матрицы А удовлетворяют условию

(i=1,2,… ,n), (2.2.9)

то есть если модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы больше суммы модулей всех остальных коэффициентов (не считая свободных членов).

Второй способ позволяет записать систему (2.2.1) в виде

x1 = b1 - (a11 -1)x1 - a12 x2 - … - a1n xn ,

x2 = b2 - a21 x1 -(a22 -1)x2 -… - a2n xn , (2.2.10)

xn = bn - an1 x1 - an2 x2 - … -(ann -1)xn .

и пояснений не требует.

Делись добром ;)