Метод простых итераций с попеременно-чередующимся шагом решения некорректных задач

дипломная работа

Глава 3 АПОСТЕРИОРНЫЙ ВЫБОР ЧИСЛА ИТЕРАЦИЙ В МЕТОДЕ ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ С ПОПЕРЕМЕННО ЧЕРЕДУЮЩИМСЯ ШАГОМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ

Ранее мы предполагали, что точное решение уравнения (1.1) истокообразно представимо, однако не всегда имеются сведения об элементе и степени истокопредставимости . Тем не менее метод (1.3) можно сделать вполне эффективным, если воспользоваться следующим правилом останова по невязке.

Зададим уровень останова и момент останова итерационного метода определим условиями

(3.1)

Покажем возможность применения правила (3.1) к методу (1.3). Рассмотрим для чётных семейство функций . Считаем, что . Используя результаты главы 2, нетрудно показать, что для выполняются условия

, (3.2)

где , (3.3)

, (3.4)

, (3.5)

где .

Лемма 3.1 Пусть . Тогда для .

Доказательство:

Воспользуемся интегральным представлением самосопряжённого оператора , где - спектральная функция. Рассмотрим

.

При условиях и , имеем

Здесь

в силу свойств спектральной функции.

Следовательно, Лемма 3.1 доказана.

Лемма 3.2 Пусть . Тогда для имеет место соотношение .

Доказательство:

Так как верно неравенство (3.5), то

, где .

Воспользуемся теоремой Банаха-Штейнгауза, по которой сходимость при имеет место тогда и только тогда, когда эта сходимость имеет место на некотором плотном в подмножестве и ограничены независящей от постоянной.

Здесь , т.е. совокупно ограничены.

В качестве плотного в подмножества возьмём множество . Положим . Тогда для каждого имеем

так как Лемма 3.2 доказана.

Лемма 3.3 Пусть .

Если для некоторого при имеем

то .

Доказательство:

В силу (3.3) последовательность ограничена . Поэтому в гильбертовом пространстве из этой последовательности можно извлечь слабо сходящуюся подпоследовательность.

Пусть , тогда . Но по условию следовательно, . Поскольку нуль не является собственным значением оператора , то . Тогда

так как и по условиям . Следовательно, . Итак, всякая слабо сходящаяся подпоследовательность указанной выше ограниченной последовательности стремится к нулю по норме. Следовательно, и вся последовательность . Лемма 3.3 доказана.

Теорема 3.1 Пусть и пусть момент останова - чётное) в методе (1.3) выбирается по правилу (3.1). Тогда

при .

Доказательство:

Поскольку нуль не является собственным значением оператора , то . Так как

то

Ранее, в главе 2 по индукции было показано, что

,

следовательно, для чётных

Значит,

(3.6)

Отсюда

(3.7)

В силу лемм 3.1 и 3.2 имеем

(3.8)

(3.9)

Кроме того, из (3.2) и (3.3)

(3.10)

(3.11)

Рассмотрим случай правила останова (3.1). Тогда

и из (3.7) и (3.11) получим при

Следовательно,

(3.12)

Для любых справедливы неравенства . Поэтому Итак, для любых

(3.13)

Из (3.9) и (3.13) получим при или (так как из (3.9) ), следовательно, .

Если при этом , то, используя (3.6), получим

так как из (3.8) вытекает

Если же для некоторых последовательность окажется ограниченной, то и в этом случае . Действительно, из (3.12) выполняется Следовательно, имеем и по лемме 3.3 получаем, что при . Отсюда

Теорема 3.1 доказана.

Теорема 3.2 Пусть выполняются условия теоремы 3.1 и пусть тогда справедливы оценки

,

(3.14)

Доказательство:

Из (3.5) при имеем

Воспользовавшись (3.13), получим

Откуда

.

При помощи неравенства моментов оценим

Тогда

Теорема 3.2 доказана.

Замечание 3.1 Порядок оценки (3.14) есть , и он оптимален в классе задач с истокопредставимыми решениями.

Замечание 3.2 Используемое в формулировке теоремы 3.2 предположение, что порядок истокопредставимости точного решения равен , не потребуется на практике, так как при останове по невязке автоматически делается число итераций, нужное для получения оптимального по порядку приближённого решения. Но даже если истокопредставимость точного решения отсутствует, останов по невязке (3.1), как показывает теорема 3.1, обеспечивает сходимость метода, т.е. его регуляризующие свойства.

Делись добром ;)