Метод Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором шага интегрирования решения задачи Коши

курсовая работа

1.6 Условия порядков для методов Рунге-Кутты

Рассмотрим структуру условий, определяющих порядок метода, или условий порядка, как их называют для краткости. Способ вывода условий порядка прошел большую эволюцию. Он совершенствовался главным образом под влиянием работ Бутчера.

Так как явные методы Рунге-Кутты являются частным случаем неявных, то можем выписать условия, при которых метод имеет заданный порядок.

Метод

(где на свободных местах должны стоять нули) имеет порядок , если удовлетворяется уравнение

(2.6.1)

для каждого дерева с корнем и не более чем с разветвлениями Дж. Холл, Дж. Уатт «Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений», М., Мир, 1979, стр. 77..

При эти условия, обеспечивающие порядок 4, и соответствующие деревья имеют следующий вид:

(2.6.2)

(2.6.3)

(2.6.4)

(2.6.5)

(2.6.6)

(2.6.7)

(2.6.8)

(2.6.9)

Заметим, что для меньших значений мы берем соответствующее подмножество этих условий, а для меньших оставляем лишь некоторые из указанных членов.

Из (2.9) видим, что действительно необходимо 4 этапа, так как если бы их было меньше, то был бы опущен единственный член в левой части этого уравнения. Для явных методов в общем случае выполняется неравенство . Фактически (для тех значений, для которых это известно) минимальное значение для данного указано в следующей таблице:

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

6

7

9

Общие классы методов с этими значениями и легко найти в случае .

Для :

0

1

Это известный метод Эйлера.

Для :

Это однопараметрическое семейство имеет требуемый порядок для любого ненулевого значения .

Для имеется три семейства, из которых первые два таковы:

Каждое из них имеет один параметр . Третье семейство имеет в качестве параметров и , причем

.

Вывод методов с более сложен, но его можно упростить, положив

(2.6.10)

(что влечет равенство ), так как это позволяет опустить уравнения (2.6.3), (2.6.5), (2.6.8) и (2.6.9). Интересно также, что (2.6.10) является следствием (2.6.2) - (2.6.9).

План вывода конкретного метода этого порядка можно выполнить при условии, что не возникает несовместных систем.

Шаг 1. Выбираем значения , и полагаем .

Шаг 2. Из (2.6.2), (2.6.3), (2.6.4) и (2.6.6) находим .

Шаг 3. Из уравнения (это уравнение есть разность уравнений (2.6.5) и (2.6.7)) находим .

Шаг 4. Из (2.6.10) находим .

Шаг 5. Вычисляем .

В случае шаг 2 приводит к выбору и при условии, что , . В частности, имеем известный метод:

Делись добром ;)