Метод хорд

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Для того, чтобы лучше понять данную работу, дадим некоторые определения (см.[3,6,7,9]), также докажем теоремы (см. [1,6,9]):

Определение 1. Хорда - это отрезок прямой линии, соединяющий две точки данной кривой (например, окружности, эллипса, параболы).

Определение 2. Метод хорд - это итерационный численный метод приближённого нахождения корня уравнения.

Определение 3. Пропорциональность - это две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.

Определение 4. Приращение функции в точке -- это функция, обычно обозначаемая от новой переменной , определяемая как

Определение 5. Приращение аргумента - это разность между двумя значениями аргумента: "новым" и "старым"

Определение 6. Многочлен от n переменных - это сумма одночленов или, строго, -- конечная формальная сумма вида:

, где

-- набор из целых неотрицательных чисел

-- число, именуемое коэффициент многочлена.

Погрешность данного числа а, которое рассматривается как приближённое значение некоторой величины, точное значение которой равно х - это есть разность х -- а.

Определение 7. Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х.

Определение 8. Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х.

Лемма. Пусть функция f(x) имеет конечную производную в точке x₀. Если эта производная f^/(x)>0 [f^/(x) <0], то для значений x, достаточно близких к x₀ справа, будет f(x)>f(x₀) [f(x)<f(x₀)], а для значений x, достаточно близких к x₀ слева, будет f(x)<f(x₀) [f(x)>f(x₀)]

Иными словами этот факт выражают так: функция f(x) в точке x₀ возрастает (убывает). Если имеется в виду односторонняя производная, например, справа, то сохраняет силу лишь утверждение о значениях x, лежащих справа от x₀.

Доказательство. По определению производной,

f(x₀) = .

Если f(x₀)>0, то, найдется такая окрестность (x₀-, x₀+) точки x₀, в которой (при xx₀)

>0.

Пусть сначала x₀<x<x₀+, так что x-x₀>0; из предыдущего неравенства следует, что f(x)-f(x₀)>0, то есть f(x)>f(x₀). Если же x₀-<x<x₀ и x-x₀<0, то, очевидно, и f(x)-f(x₀)<0, то есть f(x)<f(x₀). Лемма доказана.

Теорема 1. Теорема Ферма. Пусть функция f(х) определена в некотором промежутке X и во внутренней точке с этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если существует двусторонняя конечная производная f(c) в этой точке, то необходимо f(c) =0.

Доказательство. Пусть для определенности f(х) принимает наибольшее значение в точке с. Предположение, что f(c)0, приводит к противоречию: либо f(с)>0, и тогда (по лемме) f(х) > f(с), если х>с и достаточно близко к с, либо f(c)<0, и тогда f(х)>f(c), если х< с и достаточно близко к с. В обоих случаях f(с) не может быть наибольшим значением функции f(х) в промежутке X. Полученное противоречие и доказывает теорему.

Теорема 2. Теорема Ролля. Пусть 1) функция f(х) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [а, b], 2) существует конечная производная f(x), по крайней мере, в открытом промежутке (а, b); 3) на концах промежутка функция принимает равные значения: f(а) =f(b).

Тогда между а и b найдется такая точка, с (а<c<b), что f (c)=0.

Доказательство. f(х) непрерывна в замкнутом промежутке [а, b] и потому, по 2-й теореме Вейерштрасса [85], принимает в этом промежутке как свое наибольшее значение М, так и свое наименьшее значение т.

Рассмотрим два случая:

1)М=m. Тогда f(х) в промежутке [а, b] сохраняет постоянное значение: в самом деле, неравенство mf(х)М в этом случае дает f(х) = М при всех х; поэтому f (х)=0 во всем промежутке, так что в качестве с можно взять любую точку из (а, b).

2)М>m. Мы знаем, что оба эти значения функцией достигаются, но, так как f(a) = f(b), то хоть одно из них достигается в некоторой точке с между а и b. В таком случае из теоремы Ферма следует, что производная f(c) в этой точке обращается в нуль. Теорема доказана.

Теорема 3. Формула конечных приращений, или теорема Лагранжа о среднем значении: Пусть 1) f (х) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a,b]

2) существует конечная производная f (x), по крайней мере, в открытом промежутке (а, b). Тогда между а и b найдется такая точка с (а<с<b), что для нее выполняется равенство

= f (c).

Доказательство. Введем вспомогательную функцию, определив ее в промежутке [а, b] равенством:

F(x)=f(x)-f(a)- = (x-a).

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В самом деле, она непрерывна в [а,b], так как представляет собой разность между непрерывной функцией f(х) и линейной функцией. В промежутке (а, b) она имеет определенную конечную производную, равную

F (x)=f (x)- .

Наконец, непосредственной подстановкой убеждаемся в том, что F(a) = F(b) = 0, то есть F(x) принимает равные значения на концах промежутка.

Следовательно, к функции F(х) можно применить теорему Ролля и утверждать существование в (а,b) такой точки с, что F (c)=0. Таким образом,

f (c)- = 0,

откуда

f (c) =

Что и требовалось доказать.