Метод хорд

реферат

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ МЕТОДА ХОРД

Правило пропорциональности частей допускает простое геометрическое истолкование. Рассмотрим рисунок:

Заменим дугу MM/ кривой - хордой MM/ . Уравнение последней может быть написано, например в виде:

y-f(a) =(x-a). (3)

Наше правило, по существу, сводится к тому, что вместо точки А пересечения кривой с осью x определяется точка D пересечения с осью x этой хорды.

Действительно, полагая в (3) уравнении y=0, а для абсциссы x1 точки D получаем именно выражение вида:

x1 = b-

В связи с этим, правило пропорциональных частей называют также методом хорд. Ну а теперь обратимся к исследованию вопроса о положении точки x1 по отношению к корню . Непосредственно ясно, что точка x1 лежит между a и b, но с какой стороны от ? Выясним это.

Так в случаях I и II (III и IV) мы имеем дело с выпуклой вниз (вверх) функцией, то кривая MM/ лежит под (над) хордой MM/ , то есть

f(x) f(a)+(x-a) (a<x<b) (4)

Полагая здесь x=x1 , непосредственно получаем f(x1)0, так что f(x1) всегда имеет знак противоположный знаку f //(x). Отсюда, наконец, заключаем, что в случаях I и IV значение x1 лежит между a и , в случаях же II и III - между и b.

Ограничиваясь случаями I и IV, применим снова наше правило, на этот раз к промежутку [х1, b], заменяя в (2) а на x1 получим новое приближенное значение корня :

x2=x1 - ,

содержащееся, по доказанному, между х1 и Этот процесс можно продолжать неопределенно и построить последовательность все возрастающих приближенных значений

a<x1<x2<…<xn<xn+1<…<.

При этом любые два последовательных значения хп и хп+1 связаны формулой, аналогичной (2),

xn+1=xn - (5)

Покажем, что, с возрастанием п, хп В самом деле, монотонно возрастающая, но ограниченная (например, числом ) переменная хп должна стремиться к некоторому конечному пределу . Если перейти к пределу в равенстве (5), используя при этом непрерывность функции f(x), то получим, что

, откуда f()=0.

Так как других корней уравнения (1), кроме , в промежутке [а, b] нет, то =*).

Рисунок иллюстрирует постепенное приближение точек D1, D2, ... * пересечения последовательных хорд с осью х к искомой точке А. Легко понять, что в случаях II или III повторное применение правила приведет к последовательности убывающих приближенных значений b>x1>x2>… >xn>xn+1>…> стремящихся к корню справа. Таким образом, во всех случаях, применив достаточное число раз указанное выше правило, можно вычислить корень с любой степенью точности. При этом, впрочем, остается открытым вопрос, как оценить точность уже вычисленного приближенного значения хп.

Для решения его применим к разности f(xn)- f() формулу конечных приращений:

f(xn) =f(xn)-f()=(xn- ) f /(c) () cxn).

Отсюда xn-;

если обозначить через т наименьшее значение |f /(x)| в рассматриваемом промежутке (которое можно раз навсегда вычислить наперед), то получим оценку:

|xn-|. (6)

Так по самой величине f(xn) оказывается возможным судить о близости хп к корню!

Делись добром ;)