Метод хорд

реферат

ПРИМЕРЫ. РУЧНОЙ СЧЕТ

Рассмотрим примеры, подтверждающие метод хорд (см.[1,9]

Пример 1.

Уравнение х3-2х2-4х-7=0 имеет корень между 3 и 4, ибо, если через f(x) обозначить левую его часть f(3) = -10<0, f(4) =9>0.

Поставим себе задачей вычислить этот корень с точностью до 0,01. В промежутке [3, 4] обе производные

f /(x) = 3x2-4x-4 и f //(x) = 6x-4

сохраняют знак плюс (случай I) ;наименьшее значение первой из них будет m=11. Имеем:

x1 = 3 - = 3+ = 3+0,52…;

округляя, положим х1 = 3,52. Так как f(3,52)= -2,246592, то, по неравенству (6), требуемой точности еще нет. Продолжаем:

x2 = 3,52 - = 3,52+ = 3,52+0,09…

или, округляя, х2=3,61.

Вычислив f(3,61)= -0,458319 и пользуясь неравенством (6), снова видим, что цель еще недостигнута. Наконец,

x3 = 3,61 - = 3,61+ = 3,61+0,0188…

Округляя, положим х3 = 3,63. Так как мы округлили "в сторону корня", то могли и перескочить через него; что этого не произошло, видно по знаку числа f(3,63)= - 0,041653.На этот раз, по неравенству (6),

|x3-| = - x3 < < 0,004

Таким образом, 3,630< < 3,634, т.е. =3,63+0,004. Ответ: =3,63+0,004.

Пример 2.

Отделить корни уравнения x3-0,2x2+0,5x+1,5=0 аналитически и уточнить один из них методом с точностью 0,01.

Решение. Имеем функцию f(x)= x3-0,2x2+0,5x+1,5. Производная равна:

f/(x)=3x2-0,4x+0,5; D=0,16-6<0.

Составим таблицу знаков функции f(x):

x

-?

-1

0

+?

signf(x)

-

-

+

+

Уравнение имеет один действительный корень, что лежит на промежутке [-1;0]. Чтобы уточнить корень, находим производную f// (x)=6x-0,4; на промежутке [-1,0] выполняется неравенство f // (x)<0.

Для вычисления используем формулу:

xn+1=a-(xn-a) , где a=-1; x0=0; f(a)=f(-1)=-0,2.

Результаты вычислений размещаем в таблицу:

n

xn

x3n

xn2

0,2xn2

0,5xn

f(xn)

f(xn)+0,2

xn-a

0

0

0

0

0

0

1,5

1,7

1

-0,118

1

-0,882

-0,6861

0,7779

0,1556

-0,441

0,2173

0,4173

0,118

-0,057

2

-0,943

-0,8386

0,8892

0,1778

-0,4715

0,0121

0,2121

0,057

-0,054

3

-0,946

-0,8466

0,8949

0,1790

-0,473

0,0014

0,2014

0,054

-0.054

4

-0,946

Ответ: -0,946.

Пример 3.

Отделить корни уравнения tg(-55x+0,1)=x2 графически и уточнить один из них методом хорд с точностью до 0,01.

Решение.

Отделим корень графически. Построим графики функции y1=tg(0,55x+0,1) и y2=x2. Смотрите на рисунок:

Составим таблицу значений этих функций по рисунку:

x

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

y2=x2

0

0,04

0,16

0,36

0,64

1

0,55x

0

0,11

0,22

0,33

0,44

0,55

y1

0,1

0,21

0,33

0,46

0,60

0,76

Таким образом, положительный корень уравнения находится на промежутке [0,6; 0,8]. Чтобы уточнить корень методом хорд, определим знаки функции f(x)= tg(0,55x+0,1)-x2 на концах отрезка [0,6; 0,8] и знак ее второй производной на этом отрезке: f(0,6)=tg0,43 - 0,36 = - 0,0986.

f(0,8)=tg0.54 - 0.64 = -0,0406.

f /(x) = - 2x

f //(x) = 0.55 2 cos3(0,55x+0,1)0,55 - 2 = - 2<0 при x[0,6; 0,8].

Применим формулу для вычислений:

xn+1= xn -(b- xn), где b=0,8; x0=0,6.

Результаты вычислений размещаем в таблицу:

n

xn

b- xn

0,55xn+0,1

tg(0,55xn+0,1)

xn2

f(xn)

f(b) - f(xn)

0

0,6

0,2

0,43

0,4586

0,36

0,0986

-0,1392

-0,142

1

0,742

0,058

0,5081

0,5570

0,5506

0,0064

-0,0470

-0,008

2

0,750

0,50

0,5125

05627

0,5625

0,0002

-0,0408

-0,0002

3

0,7502

0,0498

0,5126

0,5628

0,5628

0

Ответ: 0,750.

Пример 4.

Найти положительный корень уравнения f(x) = x3 - 0,2 x2 - 0,2 х - 1,2 = 0 с точностью до 0,01.

Решение.

Прежде всего, отделяем корень.

Так как f (1) = -0,6 < 0 и f (2) = 5,6 > 0, то искомый корень x лежит в интервале [1, 2]. Полученный интервал велик, поэтому разделим его пополам.

Так как f (1,5) = 1,425 > 0, то 1< x < 1,5.

Так как f (x) = 6 x - 0,4 > 0 при 1 < х < 1,5 и f (1,5) > 0, то воспользуемся формулой (5) для решения поставленной задачи:

= 1,15;

|x1 - x0| = 0,15 > e , следовательно, продолжаем вычисления;

f (х1) = -0,173;

= 1,190;

|x2 - x1| = 0,04 > e ,

f (х2) = -0,036;

= 1,198;

|x3 - x2| = 0,008 < e .

Таким образом, можно принять = 1,198 с точностью e = 0,01.

Заметим, что точный корень уравнения = 1,2.

Ответ: = 1,2.

Делись добром ;)