Метод хорд

ПРИМЕРЫ. РУЧНОЙ СЧЕТ

Рассмотрим примеры, подтверждающие метод хорд (см.[1,9]

Пример 1.

Уравнение х³-2х²-4х-7=0 имеет корень между 3 и 4, ибо, если через f(x) обозначить левую его часть f(3) = -10<0, f(4) =9>0.

Поставим себе задачей вычислить этот корень с точностью до 0,01. В промежутке [3, 4] обе производные

f ^/(x) = 3x²-4x-4 и f ^//(x) = 6x-4

сохраняют знак плюс (случай I) ;наименьшее значение первой из них будет m=11. Имеем:

x₁ = 3 - = 3+ = 3+0,52…;

округляя, положим х₁ = 3,52. Так как f(3,52)= -2,246592, то, по неравенству (6), требуемой точности еще нет. Продолжаем:

x₂ = 3,52 - = 3,52+ = 3,52+0,09…

или, округляя, х₂=3,61.

Вычислив f(3,61)= -0,458319 и пользуясь неравенством (6), снова видим, что цель еще недостигнута. Наконец,

x₃ = 3,61 - = 3,61+ = 3,61+0,0188…

Округляя, положим х₃ = 3,63. Так как мы округлили "в сторону корня", то могли и перескочить через него; что этого не произошло, видно по знаку числа f(3,63)= - 0,041653.На этот раз, по неравенству (6),

|x₃-| = - x₃ < < 0,004

Таким образом, 3,630< < 3,634, т.е. =3,63+_0,004. Ответ: =3,63+_0,004.

Пример 2.

Отделить корни уравнения x³-0,2x²+0,5x+1,5=0 аналитически и уточнить один из них методом с точностью 0,01.

Решение. Имеем функцию f(x)= x³-0,2x²+0,5x+1,5. Производная равна:

f^/(x)=3x²-0,4x+0,5; D=0,16-6<0.

Составим таблицу знаков функции f(x):

x	-?	-1	0	+?
signf(x)	-	-	+	+

Уравнение имеет один действительный корень, что лежит на промежутке [-1;0]. Чтобы уточнить корень, находим производную f^// (x)=6x-0,4; на промежутке [-1,0] выполняется неравенство f ^// (x)<0.

Для вычисления используем формулу:

x_n+1=a-(x_n-a) , где a=-1; x₀=0; f(a)=f(-1)=-0,2.

Результаты вычислений размещаем в таблицу:

n	xn	x3n	xn2	0,2xn2	0,5xn	f(xn)	f(xn)+0,2	xn-a
0	0	0	0	0	0	1,5	1,7	1	-0,118
1	-0,882	-0,6861	0,7779	0,1556	-0,441	0,2173	0,4173	0,118	-0,057
2	-0,943	-0,8386	0,8892	0,1778	-0,4715	0,0121	0,2121	0,057	-0,054
3	-0,946	-0,8466	0,8949	0,1790	-0,473	0,0014	0,2014	0,054	-0.054
4	-0,946

Ответ: -0,946.

Пример 3.

Отделить корни уравнения tg(-55x+0,1)=x² графически и уточнить один из них методом хорд с точностью до 0,01.

Решение.

Отделим корень графически. Построим графики функции y₁=tg(0,55x+0,1) и y₂=x². Смотрите на рисунок:

Составим таблицу значений этих функций по рисунку:

x	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1
y2=x2	0	0,04	0,16	0,36	0,64	1
0,55x	0	0,11	0,22	0,33	0,44	0,55
y1	0,1	0,21	0,33	0,46	0,60	0,76

Таким образом, положительный корень уравнения находится на промежутке [0,6; 0,8]. Чтобы уточнить корень методом хорд, определим знаки функции f(x)= tg(0,55x+0,1)-x² на концах отрезка [0,6; 0,8] и знак ее второй производной на этом отрезке: f(0,6)=tg0,43 - 0,36 = - 0,0986.

f(0,8)=tg0.54 - 0.64 = -0,0406.

f ^/(x) = - 2x

f ^//(x) = 0.55 2 cos³(0,55x+0,1)0,55 - 2 = - 2<0 при x[0,6; 0,8].

Применим формулу для вычислений:

x_n+1= x_n -(b- x_n), где b=0,8; x₀=0,6.

Результаты вычислений размещаем в таблицу:

n	xn	b- xn	0,55xn+0,1	tg(0,55xn+0,1)	xn2	f(xn)	f(b) - f(xn)
0	0,6	0,2	0,43	0,4586	0,36	0,0986	-0,1392	-0,142
1	0,742	0,058	0,5081	0,5570	0,5506	0,0064	-0,0470	-0,008
2	0,750	0,50	0,5125	05627	0,5625	0,0002	-0,0408	-0,0002
3	0,7502	0,0498	0,5126	0,5628	0,5628	0

Ответ: 0,750.

Пример 4.

Найти положительный корень уравнения f(x) = x³ - 0,2 x² - 0,2 х - 1,2 = 0 с точностью до 0,01.

Решение.

Прежде всего, отделяем корень.

Так как f (1) = -0,6 < 0 и f (2) = 5,6 > 0, то искомый корень x лежит в интервале [1, 2]. Полученный интервал велик, поэтому разделим его пополам.

Так как f (1,5) = 1,425 > 0, то 1< x < 1,5.

Так как f (x) = 6 x - 0,4 > 0 при 1 < х < 1,5 и f (1,5) > 0, то воспользуемся формулой (5) для решения поставленной задачи:

= 1,15;

|x₁ - x₀| = 0,15 > e , следовательно, продолжаем вычисления;

f (х₁) = -0,173;

= 1,190;

|x₂ - x₁| = 0,04 > e ,

f (х₂) = -0,036;

= 1,198;

|x₃ - x₂| = 0,008 < e .

Таким образом, можно принять = 1,198 с точностью e = 0,01.

Заметим, что точный корень уравнения = 1,2.

Ответ: = 1,2.