Методи оцінювання параметрів та перевірка статистичних гіпотез

контрольная работа

1. Оцінювання параметрів розподілів. Незміщені, спроможні оцінки

Означення. Випадковий вектор = (1, 2, ..., n) зі значеннями в Rn будемо називати вибіркою (вибірковим вектором).

Означення. Вибірку = (1, 2, ..., n), утворену послідовністю незалежних, однаково розподілених випадкових величин 1, 2, ..., n, кожна з яких має розподіл F, називають вибіркою обсягом n з розподілу (закону) F.

Означення. Простір Rn, в якому вибірка (вибірковий вектор) набуває значень, будемо називати вибірковим простором.

Ми будемо мати справу з вибірками, розподіли (функції розподілу) яких залежать від деякого параметра . Множина можливих значень цього параметра (позначимо її ) є підмножиною скінченновимірного простору Rs.

Постановка задачі оцінювання параметрів розподілів. Нехай () = (1(), 2(), ..., n()) - реалізація вибірки = (1, 2, ..., n) з розподілом F( ; ). Розподіл F( ; ) залежить від параметра , який набуває значень з множини . Значення параметра в розподілі F( ; ) невідоме і його необхідно оцінити (визначити) за реалізацією () = (1(), 2(), ..., n()) вибірки = (1, 2, ..., n). У цьому й полягає задача оцінювання параметрів розподілів.

Для оцінювання невідомого значення параметра єдине, що нам відомо, і єдине, за допомогою чого ми можемо оцінювати (визначити) , є реалізація вибірки . Крім реалізації () вибірки ми не маємо нічого, що надавало б якусь інформацію про значення параметра . Тому оцінити (визначити) значення за реалізацією () (точно чи хоча б наближено) - це означає реалізації () вибірки поставити у відповідність значення , тобто вказати правилао, за яким реалізації вибірки ставиться у відповідність значення . Точніше (формально), це означає, що для оцінювання на вибірковому просторі - множині реалізацій вибірок - необхідно визначити (побудувати, задати) функцію h( ) зі значеннями в - множині можливих значень параметра - таку, що

h (()) дорівнює

або хоча б

h (()) “наближено” дорівнює .

Значення = h (()) ми й будемо використовувати як . Необхідно відзначити, що для кожної реалізації () значення = h (()), яке використовується як , буде своє, тому , як функція = () , є випадковою величиною.

Означення. Борелівську функцію h(), задану на вибірковому просторі Rn, зі значеннями в - множині можливих значень параметра - будемо називати статистикою.

Одержувати (будувати) статистики h(), такі щоб = h (()) = , тобто щоб за () можно було точно визначити , явно не вдасться вже хоча б тому, що є константою, а оцінка = h (()), як функція від вибірки (функція випадкової величини), є випадковою величиною. Тому (хочем ми того чи ні) для визначення ми будемо вимушені задовольнятися значеннями = h(), вважаючи (розглядаючи) їх за наближені значення . Зауважимо, що для одного й того ж параметра можна запропронувати багато оцінок.

У звязку з постановкою задачі оцінювання параметрів розподілів, як задачі одержання наближених значень = h() для виникає необхідність вміти відповідати на запитання - наскільки великою є похибка - при заміні на , інакше, як далеко можуть відхилятися значення оцінки = h (1, 2, ..., n), обчисленої за вибіркою = (1, 2, ..., n), від оцінюваної величини ?

Кількісно міру похибки при заміні на (міру розсіювання відносно ) будемо описувати величиною

M | - |2.

Серед усіх оцінок з однією і тією ж дисперсією D мінімальну міру розсіювання відносно мають оцінки, для яких М = .

Означення. Оцінку будемо називати незміщеною оцінкою параметра , якщо М = або, що те саме , M ( - ) = 0.

Наочно незміщеність оцінки параметра можна трактувати так: при багаторазовому використанні оцінки як значення для , тобто при багаторазовій заміні на , середнє значення похибки - дорівнює нулеві.

Часто ми маємо можливість розглядати не одну оцінку = h() = h (1, 2, ..., n), побудовану за вибіркою = (1, 2, ..., n), а послідовність оцінок = hn (1, 2, ..., n), n=1,2,... У цій ситуації природно говорити про асимптотичну поведінку послідовності оцінок .

Означення. Послідовність оцінок , n=1,2,..., будемо називати спроможною послідовністю оцінок параметра , якщо для кожного 0

P { | - | } 0 при n .

Означення. Послідовність оцінок , n=1, 2, ..., будемо називати асимптотично незміщеною послідовністю оцінок параметра , якщо

M ( - ) 0

або, що те саме M при n .

Делись добром ;)