Вступ
Актуальність теми:
Метою дослідження: Дослідити методи факторизації матриць, зокрема LU розклад.
Завдання дослідження:
1.Розглянути основні поняття чисельних методів розвязання СЛАР.
2. Розглянути метод Гауса.
3. Розглянути метод LU факторизації матриць.
5. Розвязати задачі та проаналізувати.
Структура роботи: Робота складається із вступу, трьох розділів, висновку та списку використаної літераратури.
Розділ І. Основні поняття
Дана система m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими
(1. 1)
або, у матричній формі
(1.2)
, , . (1.3)
Означення 1. Розвязком системи (1.1) називається n-компонентний вектор-стовбець , який перетворює матричне рівняння (1.2) у вірну числову тотожність.
Означення 2. Система називається сумісною, якщо є хоча б один розвязок. У протилежному випадку система називається несумісною.
Означення 3. Дві системи еквівалентні, якщо множини їх розвязків співпадає.
Теорема Кронекера-Капеллі. Для того що б система лінійних неоднорідних рівнянь була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці коефіцієнтів дорівнював рангу розширеної матриці.
Теорема Крамера. Для того що б система лінійних неоднорідних рівнянь з невідомими мала единий розвязок, необхідно і достатньо, щоб визначник матриці коефіцієнтів відрізнявся від нуля. У противному випадку неоднорідна система не має розвязків або має їх безліч.
Методи розвязання СЛАР
Методи розвязування СЛАР можна досить чітко поділити на три групи: точні, ітераційні та ймовірнісні. Точні методи застосовні до систем з числом змінних до порядку 104, ітераційні -- 107.
Ітераційні методи
При виконанні умов збіжності дозволяють досягти будь-якої точності просто повторенням ітерацій.
- Вступ
- 1. Метод простої ітерації
- 2. Метод Зейделя
- 2.2 Метод Зейделя
- 2.3 Метод Крамера
- 2.4 Метод оберненої матриці
- РОЗДІЛ ІІІ. Метод Гаусса
- 3.1.2 Алгоритм Гаусса зведення системи до східчастого виду послідовним застосуванням елементарних перетворень
- 3.2.1 Метод Ґаусса-Жордана
- 3.2.2 Зворотній хід методу Жордана-Гауса
- Розділ ІV. LUрозклад матриці
- 4.1 Метод LU - факторизації
- 4.2 Метод Холецького
- 4.3 Знаходження оберненої матриці через LU-розклад