Методи факторизації матриць

курсовая работа

РОЗДІЛ ІІІ. Метод Гаусса

Одним з найпоширеніших методів рішення систем лінійних рівнянь є метод Гауса. Цей метод (який також називають методом послідовного виключення невідомих) відомий в різних варіантах вже більше 2000 років.

Обчислення за допомогою методу Гауса полягають в послідовному виключенні невідомих з системи для перетворення її до еквівалентної системи з верхньою трикутною матрицею. Обчислення значень невідомих проводять на етапі зворотного ходу.

3.1.1 Метод Гаусса розвязування загальної системи лінійних рівнянь

Визначимо елементарні перетворення 1-го, 2-го та 3-го роду системи лінійних рівнянь таким чином:

домножити деяке рівняння на число, відмінне від 0.

поміняти два рівняння місцями.

додати до одного рівняння інше, помножене на деяке число.

Теорема 1. Елементарні перетворення переводять систему (1) в систему, еквівалентну даній.

Доведення.

Очевидно, що перетворення 1-го та 2-го роду не змінюють множину розвязків системи.

Доведем, що перетворення 3-го роду не змінюють множину розвязків системи. Нехай система (2) одержана з системи (1) так: до j-го рівняння додали і-те, помножене на число . Всі рівняння, крім j-го не зміняться, j-те запишеться так:

Покажемо, що довільний розв"язок ( системи (1) є також розвязком системи (2). Дійсно, ( задовольняє всім рівнянням системи (2), крім j-го. Підставимо ( в j-те рівняння:

Оскільки ( - розвязок системи (1), то

отже маємо

лінійний алгебраїчний рівняння перетворення

Остання рівність показує, що також задовольняють j-те рівняння системи (2).

Покажемо, що будь-який розвязок системи (2) задовольняє систему (1). Систему (1) одержимо з (2), віднявши від j-го рівняння i-те, помножене на , тобто за допомогою елементарного перетворення 3-го виду. За доведеним, будь-який розвязок вихідної системи (2) є також розвязком результуючої системи (1).

Отже, розвязки систем (1) та (2) співпадають.

Теорема 2. Будь-яка система (1) за допомогою елементарних перетворень зводиться до східчастого виду.

В якості доведення теореми наведемо

Делись добром ;)