Понятие кольца многочлена

Пусть К и L коммутативные кольца

Определение 1: Кольцо К называется простым расширением кольца K с помощью элементов x и пишут:

L=K[x] , если выполняются условия:

подкольцо кольца

Основное множество K[x] обозначают сомволами L, K[x].

Определение 2: Простое расширение L=K[x] кольца K с помощью x - простое трансцендентное расширение кольца K с помощью x, если выполняются условия:

подкольцо кольца

, если , то

Определение 3: Элемент x называется трансцендентным над кольцом K, если выполняется условие: , если , то

Предложение. Пусть K[x] простое трансцендентное расширение. Если и , где , то

Доказательство. По условию , вычтем из первого выражения второе, получим: так как элемент x трансцендентен над K, то из (3) получим:.

Вывод. Любой элемент простого трансцендентного расширения неравного нулю, коммутативного кольца K с помощью элемента x допускает единственное представление в виде линейной комбинации целых неотрицательных степеней элемента x

Определение: Кольцом многочлена от неизвестного x над, неравным нулю, кольцом K называется простое трансцендентное расширение не нулевого коммутативного кольца K с помощью элемента x.

Теорема. Для любого не нулевого коммутативного кольца K, существует его простое трансцендентное расширение с помощью элемента x, k[x]

Операции над многочленами

Пусть k[x] кольцо многочленов не нулевого коммутативного кольца K

Определение 1: Многочлены f и g принадлежащие k[x], называются равными и пишут f = g, если равны между собой все коэффициенты многочленов f и g, стоящие при одних степенях неизвестного x.

Следствие. В записи многочлена порядок следования слагаемых не существенно. Приписывая и исключая из записи многочлена слагаемые с нулевым коэффициентом, не изменит многочлен.

Пусть ;

Определение 2. Суммой многочленов f и g называется многочлен f + g, определяемый равенством:

, где ; , .

Определение 3: - произведение многочленов, обозначается , который определяется по правилу:

, где .

Степень многочленов

Пусть коммутативное кольцо. k[x] кольцо многочленов над полем K : ,

Определение: Пусть - любой многочлен. Если , то целое неотрицательное число n - степень многочленов f. При этом пишут n=deg f.

Числа - коэффициенты многочлена, где - старший коэффициент.

Если , f - нормированный. Степень нулевого многочлена неопределенна.

Свойства степени многочлена

и .

ии

K - область целостности

Доказательство:

, так как и . К - область целостности .

Следствие 1: k[x] над полем К (область целостности) в свою очередь является областью целостности. Для любой области целостности существует область частности.

Следствие 2: Для любого k[x] над областью целостности К существует поле частных.