Методика изучения многочленов на факультативных занятиях в старших класса средней общеобразовательной школе

дипломная работа

Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.

Пусть , - какой-то многочлен, он определяет некоторую функцию

в общем случае, любой многочлен может определять одну функцию.

Теорема: Пусть k- область целостности, таким образом, для равенства многочленов и равенство (тождественное равенство ()) определяемыми и .

Доказательство:

Необходимости. Пусть и - область целостности, , .

Пусть , то есть

Достаточности. Предположим, что . Рассмотрим , , так как k область целостности, то многочлен h имеет число корней, из следствия следует, что h нулевой многочлен. Таким образом, ч.т.д.

Теорема о делимости с остатком

Определение: Евклидовым кольцом K называется такая область целостности k, что на множестве определена функция h, приминающая целые неотрицательные значения и удовлетворяет условию

, и или .

В процессе нахождения элементов для данных элементов называется делением с остатком, - неполное частное, - остаток от деления .

Пусть - кольцо многочленов над полем .

Теорема (о делении с остатком): Пусть - кольцо многочленов над полем и многочлен существует единственная пара многочленов , такая, что и выполняется условие или . или

Доказательство: Существование многочлена. Пусть , то есть . Теорема верна, очевидно, если - нулевой или , так как или . Докажем теорему, когда. Доказательство проведём по индукции степени многочлена , предположим, что теорема доказана (кроме единственности), для многочлена . Покажем, что в этом случае утверждение теоремы выполнено для . Действительно, пусть - старший коэффициент многочлена , следовательно, многочлен будет иметь тот же старший коэффициент и тужу степень, что у многочлена , следовательно многочлен будет иметь или является нулевым многочленом. Если , то , следовательно, при и получим . Если , то по индуктивному предположению , следовательно, , то есть, при получаем или . Существование многочлена доказано.

Покажем, что такая пара многочленов единственна.

Пусть существует или , вычтем: . Возможны два случая или .

Пусть .

С другой стороны. По условию степени или , или .

Если . Получено противоречие, таким образом . Единственность доказана.

Следствие 1: Кольцом многочленов над полем , является Евклидово пространство.

Следствие 2: Кольцом многочленов над , является кольцом главных идеалов (любой идеал имеет единственную образующую)

Любое Евклидово кольцо факториально: Кольцо многочлена над , называется факториальным кольцом.

Делись добром ;)