Методика изучения многочленов на факультативных занятиях в старших класса средней общеобразовательной школе
Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.
Пусть , - какой-то многочлен, он определяет некоторую функцию
в общем случае, любой многочлен может определять одну функцию.
Теорема: Пусть k- область целостности, таким образом, для равенства многочленов и равенство (тождественное равенство ()) определяемыми и .
Доказательство:
Необходимости. Пусть и - область целостности, , .
Пусть , то есть
Достаточности. Предположим, что . Рассмотрим , , так как k область целостности, то многочлен h имеет число корней, из следствия следует, что h нулевой многочлен. Таким образом, ч.т.д.
Теорема о делимости с остатком
Определение: Евклидовым кольцом K называется такая область целостности k, что на множестве определена функция h, приминающая целые неотрицательные значения и удовлетворяет условию
, и или .
В процессе нахождения элементов для данных элементов называется делением с остатком, - неполное частное, - остаток от деления .
Пусть - кольцо многочленов над полем .
Теорема (о делении с остатком): Пусть - кольцо многочленов над полем и многочлен существует единственная пара многочленов , такая, что и выполняется условие или . или
Доказательство: Существование многочлена. Пусть , то есть . Теорема верна, очевидно, если - нулевой или , так как или . Докажем теорему, когда. Доказательство проведём по индукции степени многочлена , предположим, что теорема доказана (кроме единственности), для многочлена . Покажем, что в этом случае утверждение теоремы выполнено для . Действительно, пусть - старший коэффициент многочлена , следовательно, многочлен будет иметь тот же старший коэффициент и тужу степень, что у многочлена , следовательно многочлен будет иметь или является нулевым многочленом. Если , то , следовательно, при и получим . Если , то по индуктивному предположению , следовательно, , то есть, при получаем или . Существование многочлена доказано.
Покажем, что такая пара многочленов единственна.
Пусть существует или , вычтем: . Возможны два случая или .
Пусть .
С другой стороны. По условию степени или , или .
Если . Получено противоречие, таким образом . Единственность доказана.
Следствие 1: Кольцом многочленов над полем , является Евклидово пространство.
Следствие 2: Кольцом многочленов над , является кольцом главных идеалов (любой идеал имеет единственную образующую)
Любое Евклидово кольцо факториально: Кольцо многочлена над , называется факториальным кольцом.