Методика изучения многочленов на факультативных занятиях в старших класса средней общеобразовательной школе
Алгоритм Евклида. НОД двух многочленов.
Пусть кольцо многочленов над .
Определение 1: Пусть и , если существует многочлен , то остаток от деления равен нулю, то называется делителем многочлена и обозначается: ().
Определение 2: Наибольший общий делитель многочленов и называется многочлен :
и (- общий делитель и ).
( на любой общий делитель и ).
Наибольший общий делитель многочленов и обозначается НОД(;). К числу общих делителей любых многочленов относят все многочлены нулевой степени из , то есть не нулевого поля . Может оказаться так, что два данных многочлена и не имеют общих делителей, не являющиеся нулевыми многочленами.
Определение: Если многочлены и не имеют общих делителей не являющихся многочленами нулевой степени, то они называются взаимно простыми.
Лемма: Если многочлены от над полем , имеет место , то наибольшим общим делителем многочленов и ассоциированы НОД . ~
Запись (a~b) означает, что ( и ) по определению.
Доказательство: Пусть и
и , отсюда следует, что и поучаем, что - общий делитель многочлена и .
общий делитель и , получаем
Алгоритм Евклида.
Пусть и многочлены из кольца над . Алгоритм Евклида, нахождения , заключается в том, что методом последовательного деления задача нахождения НОД многочленов и , сводится к задаче нахождения НОД двух многочленов меньшей степени.
Пусть , по теореме о делимости с остатком существуют многочлены , возможны два случая:
,
, по теореме о делимости с остатком , в этом случае разделим с остатком на : . Предположим . Продолжим процесс деления по изложенной схеме до появления нулевого остатка от деления. Получим следующую цепочку последовательности деления:
и
и
…
и
.
Полученная цепочка последовательности деления конечна, так как , и при этом - целое неотрицательное число, следовательно, существует конечное число целых неотрицательных чисел меньше степени , является степенями полученных остатков от деления. По лемме:
.
Таким образом, , при последовательном делении с помощью алгоритма Евклида.
Наименьшее общее кратное
Пусть кольцо многочленов над .
Определение: многочлен называется наименьшим общим кратным многочленов и , если выполняются условия:
, - общее кратное и .
.
- наименьшее среди всех общих кратных многочленов и .
Используем следующие обозначения - произвольный отрезок. Наименьшее общее кратное и - нормированное. Символом НоК обозначается нормированное наименьшее общее кратное.
Замечание: Для произвольных многочленов и , существует (пересечение главных идеалов)
,
.
Теорема (связь НОД и НОК): Пусть и - произвольные многочлены от над , таким образом, имеет место следующее отношение: .
Доказательство: Введём обозначения . Рассмотрим многочлен .
, таким образом, существуют и , такие, что , где .
Рассмотрим , тогда и и , таким образом .
Получили , ч.т.д.
Пример: , найти
Решение:
Таким образом
Ответ: