Методика изучения многочленов на факультативных занятиях в старших класса средней общеобразовательной школе

дипломная работа

Алгоритм Евклида. НОД двух многочленов.

Пусть кольцо многочленов над .

Определение 1: Пусть и , если существует многочлен , то остаток от деления равен нулю, то называется делителем многочлена и обозначается: ().

Определение 2: Наибольший общий делитель многочленов и называется многочлен :

и (- общий делитель и ).

( на любой общий делитель и ).

Наибольший общий делитель многочленов и обозначается НОД(;). К числу общих делителей любых многочленов относят все многочлены нулевой степени из , то есть не нулевого поля . Может оказаться так, что два данных многочлена и не имеют общих делителей, не являющиеся нулевыми многочленами.

Определение: Если многочлены и не имеют общих делителей не являющихся многочленами нулевой степени, то они называются взаимно простыми.

Лемма: Если многочлены от над полем , имеет место , то наибольшим общим делителем многочленов и ассоциированы НОД . ~

Запись (a~b) означает, что ( и ) по определению.

Доказательство: Пусть и

и , отсюда следует, что и поучаем, что - общий делитель многочлена и .

общий делитель и , получаем

Алгоритм Евклида.

Пусть и многочлены из кольца над . Алгоритм Евклида, нахождения , заключается в том, что методом последовательного деления задача нахождения НОД многочленов и , сводится к задаче нахождения НОД двух многочленов меньшей степени.

Пусть , по теореме о делимости с остатком существуют многочлены , возможны два случая:

,

, по теореме о делимости с остатком , в этом случае разделим с остатком на : . Предположим . Продолжим процесс деления по изложенной схеме до появления нулевого остатка от деления. Получим следующую цепочку последовательности деления:

и

и

и

.

Полученная цепочка последовательности деления конечна, так как , и при этом - целое неотрицательное число, следовательно, существует конечное число целых неотрицательных чисел меньше степени , является степенями полученных остатков от деления. По лемме:

.

Таким образом, , при последовательном делении с помощью алгоритма Евклида.

Наименьшее общее кратное

Пусть кольцо многочленов над .

Определение: многочлен называется наименьшим общим кратным многочленов и , если выполняются условия:

, - общее кратное и .

.

- наименьшее среди всех общих кратных многочленов и .

Используем следующие обозначения - произвольный отрезок. Наименьшее общее кратное и - нормированное. Символом НоК обозначается нормированное наименьшее общее кратное.

Замечание: Для произвольных многочленов и , существует (пересечение главных идеалов)

,

.

Теорема (связь НОД и НОК): Пусть и - произвольные многочлены от над , таким образом, имеет место следующее отношение: .

Доказательство: Введём обозначения . Рассмотрим многочлен .

, таким образом, существуют и , такие, что , где .

Рассмотрим , тогда и и , таким образом .

Получили , ч.т.д.

Пример: , найти

Решение:

Таким образом

Ответ:

Делись добром ;)