Методика обучения младших школьников решению комбинаторных задач

курсовая работа

1.1 Комбинаторные задачи и процесс их решения

В обыденной жизни нам часто встречаются задачи, которые имеют несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, важно не упустить ни один из них. Для этого надо уметь осуществлять перебор всех возможных вариантов или подсчитывать их число. Задачи, требующие такого решения, называются комбинаторными. Область математики, в которой изучают комбинаторные задачи, называется комбинаторикой. [22]

Комбинаторика возникла в XVI веке и первоначально в ней рассматривались комбинаторные задачи, связанные в основном с азартными играми. В процессе изучения таких задач были выработаны некоторые общие подходы к их решению, получены формулы для подсчета числа различных комбинаций.

В настоящее время комбинаторика является одним из важных разделов математической науки. Ее методы широко используются для решения практических и теоретических задач. Установлены связи комбинаторики с другими разделами математики.

В начальном обучении математике роль комбинаторных задач постоянно возрастает, поскольку в них заложены большие возможности не только для развития мышления учащихся, но и для подготовки учащихся к решению проблем, возникающих в повседневной жизни.

Комбинаторные задачи в начальном курсе математики решаются, как правило, методом перебора. Для облегчения этого процесса нередко используются таблицы и графы. В связи с этим учителю необходимы определенные умения и навыки решения комбинаторных задач.

Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Комбинаторику можно рассматривать как введение в теорию вероятностей, поскольку методы комбинаторики используются для решения многих вероятностных задач, в которых речь идет о подсчете числа возможных исходов и числа благоприятных исходов в различных конкретных случаях.

Выбором объектов и расположением их в том или ином порядке приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности.

С аналогичными задачами, получившими название комбинаторных, люди сталкивались в глубокой древности. Уже несколько тысячелетий назад в Древнем Китае увлеклись составлением магических квадратов, в которых заданные числа располагались так, что их сумма по всем горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же. В Древней Греции подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей особым образом разрезанного квадрата и т.д.

Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д.

Путь освоения способов решения комбинаторных задач состоит из нескольких этапов: сначала решаются методом перебора и для записи используются различные способы, затем появляются правила суммы и произведения и дальше рассматриваются некоторые виды комбинаций, а их число подсчитывается по формулам. [22]

Правило суммы: нахождение числа элементов объединения двух непересекающихся конечных множеств. Если объект а можно выбрать m способами, а объект b - k способами (не такими как a), то выбор «либо а, либо b» можно осуществить m+k способами.

Например: на тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод.

Правило произведения: нахождение числа элементов декартова произведения. Если объект a можно выбратьm - способами, а объект b - k способами, то пару (a, b) можно выбрать m * k способами.

Например: 1. На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать пару плодов, состоящую из яблок и апельсина. 2. Сколько трёхзначных чисел можно составить используя три цифры 7, 4 и 5.

Правила суммы и произведения - это общие правила решения комбинаторных задач. Кроме них в комбинаторике пользуются формулами для подсчёта числа отдельных видов комбинаций. С теоретико-множественной точки зрения запись любого двузначного числа - это кортеж длины 2. Записывая различные двузначные числа с помощью трёх цифр мы образовываем различные кортежи длины 2 с повторяющимися элементами. В комбинаторике такие кортежи называют размещениями.

Размещение с повторениями из k элементов по m элементов - это кортеж, составленный из m элементов k - элементного множества.

Размещение с повторениями из k элементов по m элементов - это кортеж, составленный из m неповторяющихся элементов множества, в котором k элементов.

Из элементов множества можно образовывать не только кортежи различной длины, но и различные подмножества, например двухэлементные. В комбинаторике их называют сочетаниями без повторений.

Сочетание без повторений из k элементов по m элементов - это m - элементное подмножество множества, содержащего k элементов. [21]

Делись добром ;)