Методика решения уравнений типа свертки

дипломная работа

3.2 Сингулярные интегральные уравнения и уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью

Пример 3.1. Нелинейные уравнения с ядром Гильберта:

(3.12)

(3.13)

Имеют единственное решение в гильбертовом пространстве .

В 1977 году Г.М. Магомедов рассмотрел нелинейные сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши вида

(3.14)

В пространствах Лебега .

В 1979 году вышла работа А.И. Гусейнова и Х.Ш.Мухтарова, в которой было доказано, что уравнение вида

(3.15)

Имеет решение в пространстве Лебега со степенным весом

В 1980 году, приводится в монографии лишь один результат, касающийся уравнения (3.13), так как попытка использования формулы Пуанкаре-Бертрана для сведения уравнения вида (3.12) к уравнению вида (3.13) не привела к желаемым результатам.

В 1979-1981 годах были опубликованы статьи автора, в которых рассмотрены уравнения более общего вида (3.16), (3.18) и (3.20):

(3.16)

в пространстве , с тем же весом , где

и (3.17)

(3.18)

в пространстве с тем же весом, но при условии, что

и при и при ; (3.19)

, (3.20)

в пространстве , при условии (3.17).

Из результатов автора как прямое следствие вытекает, что можно брать и отрицательные и . Более того можно брать и условие коэрцитивности на нелинейность при этом является излишним.

Рассмотрены нелинейные сингулярные интегральные уравнения на действительной оси в комплексных пространствах с общим весом , т.е. есть любая неотрицательная почти всюду отличная от нуля на измеримая функция. В случае оси возникают дополнительные трудности связанные, по сути дела, с тем, что пространства не являются вложенными друг в друга. В связи с этим представляют интерес следующие две леммы.

Лемма 3.1. Пусть и . Тогда сингулярный оператор

действует из в , непрерывен и положителен, причем

.

Лемма 3.2. Пусть , вес , и функция Тогда сингулярный оператор

Действует из в , ограничен и положителен, причем:

Обозначим через множество всех комплексных числе. Введем в рассмотрение нелинейный оператор суперпозиции , порожденный комплекснозначной функцией , удовлетворяющей условиям Каратеодори:

1) существуют такие, что для почти всех и любого

2) для почти всех и всех выполняется неравенство: ;

3) существуют и такие, что для почти всех и любого ;

4) существуют и такие, что для почти всех и любого

5) для почти всех и всех выполняется неравенство:

6) существуют такие что для почти всех и всех

Следующие теоремы относятся к различным классам нелинейных сингулярных интегральных уравнений исследование каждого из которых требует своего особого подхода.

Теорема 3.2. Пусть почти всюду отличная от нуля на функция. Если а удовлетворяет условиям 1-3, то уравнение

Имеет решение при любых таких, что кроме того, если в условии 3 , то . Решение единственно, если выполнено условие 5 или .

Теорема 3.3. Пусть Если удовлетворяет условиям 1,3 и 5, то уравнение

Имеет единственное решение . Если в условиях 1 и 3 , то .

Теорема 3.4. Пусть Если удовлетворяет условиям 4-6, то уравнение

Имеет единственное решение при любом . Кроме того, если , то

Делись добром ;)