Методика решения уравнений типа свертки
3.2 Сингулярные интегральные уравнения и уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью
Пример 3.1. Нелинейные уравнения с ядром Гильберта:
(3.12)
(3.13)
Имеют единственное решение в гильбертовом пространстве .
В 1977 году Г.М. Магомедов рассмотрел нелинейные сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши вида
(3.14)
В пространствах Лебега .
В 1979 году вышла работа А.И. Гусейнова и Х.Ш.Мухтарова, в которой было доказано, что уравнение вида
(3.15)
Имеет решение в пространстве Лебега со степенным весом
В 1980 году, приводится в монографии лишь один результат, касающийся уравнения (3.13), так как попытка использования формулы Пуанкаре-Бертрана для сведения уравнения вида (3.12) к уравнению вида (3.13) не привела к желаемым результатам.
В 1979-1981 годах были опубликованы статьи автора, в которых рассмотрены уравнения более общего вида (3.16), (3.18) и (3.20):
(3.16)
в пространстве , с тем же весом , где
и (3.17)
(3.18)
в пространстве с тем же весом, но при условии, что
и при и при ; (3.19)
, (3.20)
в пространстве , при условии (3.17).
Из результатов автора как прямое следствие вытекает, что можно брать и отрицательные и . Более того можно брать и условие коэрцитивности на нелинейность при этом является излишним.
Рассмотрены нелинейные сингулярные интегральные уравнения на действительной оси в комплексных пространствах с общим весом , т.е. есть любая неотрицательная почти всюду отличная от нуля на измеримая функция. В случае оси возникают дополнительные трудности связанные, по сути дела, с тем, что пространства не являются вложенными друг в друга. В связи с этим представляют интерес следующие две леммы.
Лемма 3.1. Пусть и . Тогда сингулярный оператор
действует из в , непрерывен и положителен, причем
.
Лемма 3.2. Пусть , вес , и функция Тогда сингулярный оператор
Действует из в , ограничен и положителен, причем:
Обозначим через множество всех комплексных числе. Введем в рассмотрение нелинейный оператор суперпозиции , порожденный комплекснозначной функцией , удовлетворяющей условиям Каратеодори:
1) существуют такие, что для почти всех и любого
2) для почти всех и всех выполняется неравенство: ;
3) существуют и такие, что для почти всех и любого ;
4) существуют и такие, что для почти всех и любого
5) для почти всех и всех выполняется неравенство:
6) существуют такие что для почти всех и всех
Следующие теоремы относятся к различным классам нелинейных сингулярных интегральных уравнений исследование каждого из которых требует своего особого подхода.
Теорема 3.2. Пусть почти всюду отличная от нуля на функция. Если а удовлетворяет условиям 1-3, то уравнение
Имеет решение при любых таких, что кроме того, если в условии 3 , то . Решение единственно, если выполнено условие 5 или .
Теорема 3.3. Пусть Если удовлетворяет условиям 1,3 и 5, то уравнение
Имеет единственное решение . Если в условиях 1 и 3 , то .
Теорема 3.4. Пусть Если удовлетворяет условиям 4-6, то уравнение
Имеет единственное решение при любом . Кроме того, если , то