Методы геометрии чисел для решения диофантовых уравнений
Введение
Постановка задачи: Выпускная квалификационная работа посвящена одному из разделов теории чисел - теории диофантовых уравнений, их решению методами геометрии чисел. Рассмотрение диофантовых уравнений частного вида с целыми и рациональными решениями - наиболее важная часть данной работы. Все рассматриваемые уравнения являются классическими и каждое из них играло важную роль в историческом развитии этой области теории чисел.
Актуальность темы: Стандартная задача из элементарной алгебры обычно приводится к системе из двух уравнений с тремя неизвестными. Четкая перспектива периода формирования диофантовых уравнений представлена А.Вейлем, С.Ленгом, И.Виноградовым, и т.д. В настоящее время диофантовы уравнения продолжают изучаться, при этом полная теория разработана лишь для линейных уравнений.
Цели и задачи: В работе изучаются следующие задачи:
• Представление любого натурального числа в виде суммы квадратов целых чисел.
• Изучение основных теорем геометрии чисел.
• Рассмотрение диофантовых уравнений частного вида с целыми и рациональными решениями - наиболее важная часть данной работы
• Применение изученной теории к решению диофантовых уравнений
Научное значение: Одним из центральных в теории диофантовых уравнений является вопрос о том, когда число решений конечно, и о нахождении в этом случае эффективной границы для координат решений. Вопрос об эффективности удалось решить лишь для частного вида. Поэтому всякое представление решения диофантовых уравнений эффективно имеет научное значение.
Научно-исследовательские методы: В работе используются методы алгебры и геометрии чисел, методы решения сравнений, методы решения уравнений.
Практическое значение работы: Методы решения диофантовых уравнений и их эффективность связаны с вопросами представления чисел в виде суммы двух, трех и четырех квадратов целых чисел. Результаты, приведенные в работе могут найти применение в различных задачах геометрии чисел, теории чисел.
Содержание работы: Работа состоит из введения, трех глав, семи параграфов, заключения и списка использованной литературы, содержащий 5 наименований.
Во введении обосновывается тема, дается обзор литературы, формулируются цели и задачи и краткое содержание темы работы.
В первой главе даны основы геометрии чисел: решетки, подрешетки и их базисы, а также основные теоремы геометрии чисел.
Во второй главе описываются квадратичные формы и их связь с решетками.
Третья глава представляет самостоятельную часть работы, изучаются диофантовы уравнения. В этой главе, на основании изученной теории, решены следующие задачи:
1) Решено неопределенное уравнение
Решением уравнения будут системы
2) Доказано, что уравнение неразрешимо в целых числах.
3) Решить в целых числах уравнение
Для этого уравнения получим решения
где и произвольные целые числа.
4) Решено в рациональных числах уравнение
Решением уравнения является целое число .