2. Используемые результаты

Лемма Если --- класс Шунка, то .

Лемма Пусть --- класс Шунка и --- конечная нильпотентная группа. Если --- подгруппа из , то является -проектором в тогда и только тогда, когда --- -холловская подгруппа.

Лемма Пусть --- радикальный класс и --- конечная нильпотентная группа. Если --- подгруппа из , то является -инъектором в тогда и только тогда, когда --- -холловская подгруппа.

Теорема Если --- класс Фиттинга и --- гомоморф, то .

Следствие Если и --- радикальные формации, то .

Теорема Если --- разрешимый класс Шунка, а --- разрешимая насыщенная формация, то --- разрешимый класс Шунка.

Следствие Если и --- разрешимые насыщенные формации, то --- разрешимая насыщенная формация.

Теорема Если и --- классы Фиттинга, то --- класс Фиттинга и .

Лемма Пусть --- разрешимая группа, тогда

1) если , то ;

2) если , то ;

3) если , то .

В частности, если и --- разрешимые группы ;

4) .

Теорема Для любого класса Шунка в каждой разрешимой группе любой -проектор является -покрывающей подгруппой и любые две -покрывающие подгруппы группы сопряжены между собой.

Лемма Пусть --- разрешимая группа. Тогда:

1) ;

2) .

Лемма Для любого гомоморфа и любой группы справедливы следующие утверждения:

1) если - -проектор группы и максимальна в , то - -покрывающая подгруппа группы ;

2) если - -покрывающая подгруппа в группе и , то - -покрывающая подгруппа в ;

3) если - -покрывающая подгруппа группы и , то - -покрывающая подгруппа фактор-группы ;

4) если и --- -покрывающая подгруппа фактор-группы , то каждая -покрывающая подгруппа из является -покрывающей подгруппой из .

Теорема Пусть --- класс Фиттинга и --- разрешимая группа. Тогда является -инъектором группы тогда и только тогда, когда будет -максимальной в и --- -инъектор коммутанта .

Следствие Пусть --- класс Фиттинга и --- разрешимая группа. Если --- -инъектор группы и , то --- -инъектор в .

Теорема Если --- максимальная подгруппа разрешимой группы , то ,где .