2. Порядок выполнения лабораторной работы
Построить допустимую область задачи и линии уровня.
Записать функцию Лагранжа и необходимые условия экстремума, из которых аналитически или используя прикладные пакеты найти условно-стационарные точки.
Для каждой точки указать активные и пассивные ограничения. Проверить выполнение достаточных условий экстремума в найденных стационарных точках. Найти глобальный минимум функции. Используя критерий (утверждение 1), проверить, что найденная точка является седловой точкой функции Лагранжа.
Проверить справедливость оценки (9), решив задачу при положительных и отрицательных малых значениях приращения ?b.
Решить задачу квадратичного программирования методом седловой точки. Для этого записать систему (17) - (18), найти ее решения, удовлетворяющие условиям (19) - (20).
3. Пример выполнения лабораторной работы
Минимизировать нелинейную функцию при условиях и , применяя метод функции Лагранжа. Проверить справедливость оценки изменения целевой функции (9).
Допустимая область - часть сферы , лежащая в подпространстве
, a= (1, 1,1).
Рассмотрим случай . Если при этом , то .
Из (21) - (23) , что противоречит (28).
Если , то (иначе получаем противоречия в (21) - (23)).
Из (21) - (23) . Подставим в (26): . Отсюда , что противоречит исходному предположению .
Рассмотрим теперь случай .
Если , то получаем точку (из (1?) … (3?), (7?)).
Остальные "симметричные" точки здесь и далее приводить не будем.
Если , , , то
,
,
.
Далее получаем точки
и . , .
Для значение
, для значение .
Если , , то
Если , то
и .
Следовательно, и . Однако, , значит, пришли к
противоречию.
Таким образом, .
Суммирование первых трех уравнений дает уравнение
,
в котором последнее слагаемое равно нулю, поэтому
.
С другой стороны,
и .
Следовательно, ,
откуда . Если , то .
Разделим равенства на : . Однако, если , то их произведение не может быть равно . Значит, . Если , получаем следующую систему:
.
Получаем точку
(в силу симметрии переменных х1, х2, х3 координаты можно переставить),
, .
Предположив , получим те же результаты.
Найдены следующие точки:
, , ;
, , , ;
, , , ;
- Введение
- Лабораторная работа № 1.
- 1. Методы безусловной оптимизации
- 1.1 Теоретический обзор. Исследование функции на безусловный экстремум
- 1.2 Численные методы минимизации функции
- 2. Порядок выполнения лабораторной работы
- 2. Порядок выполнения лабораторной работы
- 4. Задания для лабораторного практикума
- Лабораторная работа № 2.
- 1. Методы условной оптимизации
- 1.1 Теоретический обзор. Решение задачи минимизации со смешанными ограничениями
- 1.2 Седловые точки функции Лагранжа
- 4. Задания для лабораторного практикума
- Библиографический список
- 1. Анализ методов определения минимального и максимального значения функции многих переменных без ограничений
- Методы минимизации функций многих переменных
- Методы безусловной минимизации функций многих переменных
- Методы минимизации функций многих переменных
- Дифференциальное исчисление функций многих переменных.
- Методы оптимизации функции многих переменных
- Лабораторная работа № 2 Методы безусловной оптимизации функций многих переменных