2. Порядок выполнения лабораторной работы

Построить допустимую область задачи и линии уровня.

Записать функцию Лагранжа и необходимые условия экстремума, из которых аналитически или используя прикладные пакеты найти условно-стационарные точки.

Для каждой точки указать активные и пассивные ограничения. Проверить выполнение достаточных условий экстремума в найденных стационарных точках. Найти глобальный минимум функции. Используя критерий (утверждение 1), проверить, что найденная точка является седловой точкой функции Лагранжа.

Проверить справедливость оценки (9), решив задачу при положительных и отрицательных малых значениях приращения ?b.

Решить задачу квадратичного программирования методом седловой точки. Для этого записать систему (17) - (18), найти ее решения, удовлетворяющие условиям (19) - (20).

3. Пример выполнения лабораторной работы

Минимизировать нелинейную функцию при условиях и , применяя метод функции Лагранжа. Проверить справедливость оценки изменения целевой функции (9).

Допустимая область - часть сферы , лежащая в подпространстве

, a= (1, 1,1).

Рассмотрим случай . Если при этом , то .

Из (21) - (23) , что противоречит (28).

Если , то (иначе получаем противоречия в (21) - (23)).

Из (21) - (23) . Подставим в (26): . Отсюда , что противоречит исходному предположению .

Рассмотрим теперь случай .

Если , то получаем точку (из (1?) … (3?), (7?)).

Остальные "симметричные" точки здесь и далее приводить не будем.

Если , , , то

,

,

.

Далее получаем точки

и . , .

Для значение

, для значение .

Если , , то

Если , то

и .

Следовательно, и . Однако, , значит, пришли к

противоречию.

Таким образом, .

Суммирование первых трех уравнений дает уравнение

,

в котором последнее слагаемое равно нулю, поэтому

.

С другой стороны,

и .

Следовательно, ,

откуда . Если , то .

Разделим равенства на : . Однако, если , то их произведение не может быть равно . Значит, . Если , получаем следующую систему:

.

Получаем точку

(в силу симметрии переменных х₁, х₂, х₃ координаты можно переставить),

, .

Предположив , получим те же результаты.

Найдены следующие точки:

, , ;

, , , ;

, , , ;