Методы приближённого решения матричных игр

дипломная работа

§3. Монотонный итеративный алгоритм решения матричных игр

Предлагаемый для рассмотрения алгоритм реализуется только для одного игрока в отличие от первого, который работает для двух игроков. Алгоритм позволяет находить точно и приближенно оптимальную стратегию игрока 1 и значение цены игры . С помощью алгоритма можно получить заданную точность решения, причём число шагов, необходимых для достижения результатов, слабо зависит от размерности матрицы выигрышей.

Особенность этого алгоритма в способности генерировать строго монотонно возрастающую последовательность оценок цены игры, что не свойственно ранее предлагаемому алгоритму.

Рассмотрим смешанное расширение =(X,Y,K) матричной игры ГА с матрицей А размера (mn). Процесс разыгрывания игры состоит из нескольких шагов. Пусть каждый из игроков имеет конечное число стратегий.

Введём следующие обозначения:

аi - i-я строка матрицы выигрышей;

xN=(1N,2N,…,mN) X - m-мерный вектор, приближение оптимальной стратеги первого игрока на N-шаге (N-номер шага);

cN=() -n-мерный вектор, определяющий средний накопленный выигрыш на N-шаге.

Зададим начальные условия. Пусть на 0-шаге с0=, x0=(0,…, 1,…, 0), где 1 занимает i0-ю позицию.

Определим итеративный процесс следующим образом: по известным векторам xN-1, cN-1 находим векторы xN и cN , которые вычисляются по следующим формулам:

где параметр 0N1, а векторы вводятся далее.

Как отмечалось, вектор сN определяет средний накопленный выигрыш игрока 1 на N шаге. Компоненты этого вектора - это числа. В худшем случае игрок 1 может получить минимальное из этих чисел. Примем его за нижнюю оценку цену игры, которую обозначим:

. (4)

Запомним множество индексов JN-1=(), (k<n), на которых будет достигается этот минимум, т. е.

.

Далее рассмотрим подыгру ГN игры ГА с матрицей выигрышей АN={}, i=1,…,m, jN-1JN-1. Матрица выигрышей состоит из столбцов данной матрицы, номера которых определяются множеством индексов JN-1. В этой подыгре ГN находим одну из оптимальных смешанных стратегий игрока 1: .

После нахождения , находим вектор по правилу:

.

И рассмотрим игру (2n), в которой у игрока 1 две чистые стратегии, а у игрока 2 - n чистых стратегий. Эта игра задаётся матрицей , решая которую, находим вероятность использования игроком 1 своей стратегии. Это даёт нам коэффициент N.

Далее вычисляем xN, сN и переходим к следующему шагу. Процесс продолжаем до тех пор, пока не выполнится равенство N=0, потому что по теореме о минимаксе , а их равенство (что и нужно) достигается в этом случае, или пока не будет достигнута требуемая точность вычислений.

Сходимость алгоритма гарантируется теоремой.

Теорема. Пусть {xN}, {N} - последовательности, определяемые равенствами (3), (4) . Тогда справедливы следующие утверждения:

1. т. е. последовательность {N-1} строго монотонно возрастает.

2.

3. , где x*X* - оптимальная стратегия игрока 1.

Доказательства этой теоремы достаточно рутинно. Его можно посмотреть в [15].

Рассмотрим применение этого алгоритма к решению конкретной задачи.

Пример. Решить игру с матрицей А=.

Итерация 0. 1. Пусть игрок 1 выбрал свою 1-ю стратегию, т. е. А0=[0, 1, 2]. Тогда за начальные условия примем следующие: x0=(1, 0, 0) - приближение оптимальной стратегии игрока 1; c0=a1=(0, 1, 2) - возможный выигрыш игрока 1.

Найдём множество индексов , на которых игрок 1 может получить, в худшем случае, наименьший выигрыш: , значит множество индексов J0={1}. Для этого индекса выигрыш равен 0. Это есть значение нижней оценки цены игры, т. е. .

2. На этом шаге определим, пользуясь начальными значениями, компоненты векторов . Для этого рассмотрим подыгру . Для этой подыгры оптимальной стратегией игрока 1 будет его 2-ая стратегия, так как она принесёт ему наибольший выигрыш.

Обозначим её через : =(0, 1, 0). Зная , можем вычислить =0а1+1а2+0а32=(4, 2, 1).

3. Найдём 1. Для этого рассмотрим подыгру (23) с матрицей . Решая матрицу графическим способом, получаем, что 1=1/2.

4. Проведённые вычисления позволяют найти значения векторов x1, c1:

x1=1/2x0+1/2 =1/2(1, 0, 0)+1/2(0, 1, 0)=(1/2, 1/2, 0);

c1=1/2c0+1/2 =1/2(0, 1, 2)+1/2(4, 2, 1)=(2, 3/2, 3/2).

Итерация 1. Так как 1 не равно 0, то процесс продолжается дальше. Теперь за начальные условия примем найденные значения векторов x1, c1. С их помощью вычисляем , которые с большей точностью будут близки к истинным оптимальным стратегиям игрока 1.

1. Итак, пусть x1=(1/2, 1/2, 0), c1=(2, 3/2, 3/2).

Найдём множество индексов , на которых игрок 1 может получить наименьший выигрыш: , значит, J1={2,3}. Для этих индексов выигрыш равен 3/2. Это есть значение нижней оценки цены игры, т. е. . Заметим, что .

2. Далее найдём компоненты векторов . Для этого рассмотрим подыгру . В силу симметричности матрицы ее решением будет вектор (1/2, 1/2), т. е. 1/2a1+1/2a2+0a3=

=(4/2, 3/2, 3/2).

3. Вычислим коэффициент 2. Для этого решим подыгру (23):. Стратегии игроков совпадают, поэтому 2=0. В этом случае цена игры совпадает со своим нижним значением, т. е.. Возвращаемся к предыдущему шагу.

Итак, оптимальной стратегией игрока 1 является x*=x1=(1/2, 1/2, 0) и .Задача решена.

На первый взгляд алгоритм практически трудно реализовать, так как не известно, какого размера будет получена матрица для подыгры ГN. Но на самом деле с вероятностью 1 на каждом шаге придётся решать подыгру размера не больше чем m2.[9]

Инженерами-программистами алгоритм был реализован на языке программирования Фортран-IV. Вычислительные эксперименты, проведённые на ЭЦВМ ЕС-1030, показали, что для игр размерности от 2525 до 100100, элементы, матрицы выигрышей которых были заполнены случайными числами, алгоритм позволяет найти искомое приближение за 100-1000 итераций, причём их число слабо зависит от размера матрицы. Для решения одной задачи машина затрачивает не дольше 8 минут. Ими же были разработаны различные модификации алгоритма. [9]

Приложение

В приложении приведена реализация итеративного метода Брауна-Робинсона решения матричных игр на языке программирования Turbo Pascal 7.0.

Пользователь вводит матрицу выигрышей размера mЧn, где m?3, n?3.

Далее машина запрашивает информацию о том, кто из игроков начинает игру, какую стратегию он выбирает и количество итераций.

На дисплее выводится таблица разыгрываний игры за определённое число итераций.

program br;

uses crt;

const matr1:array[1..3,1..3] of byte=((0,4,2),

(3,1,0),

(1,2,3)); {Начальная матрица}

var

matr:array [1..10,1..10] of integer; {Матрица, введенная пользователем}

win_one:array[0..150,1..10] of word; {Массив для выигрышей игр.1}

win_two:array[0..150,1..10] of word; {Массив для выигрышей игр.2}

max,min:integer;

a,i,j,m,n,pl,st,st1,st2,kl:byte;

nol,otr:boolean;

function igr_one:byte; {Функция определения следующего}

var a1,a2,max:integer; {хода для игрока 1}

begin

max:=win_one[a,1];

igr_one:=1;

if pl=1 then a2:=m else a2:=n;

for a1:=1 to a2 do if win_one[a,a1]>max then begin

max:=win_one[a,a1];

igr_one:=a1;

end;

end;

function igr_two:byte; {Функция определения следующего}

var a1,a2,min:integer; {хода для игрока 2}

begin

min:=win_two[a,1];

igr_two:=1;

if pl=1 then a2:=n else a2:=m;

for a1:=1 to a2 do if win_two[a,a1]<min then begin

min:=win_two[a,a1];

igr_two:=a1;

end;

end;

begin

clrscr;

writeln (Итеративный метод Брауна-Робинсона.);

writeln(Матрица пользователя? (y/n));

if (readkey=y)or(readkey=Y) then begin {Матрица из памяти или вводит пользователь}

write (Введите размеры матрицы:);

readln(n,m); {Ввод количества строк и столбцов}

writeln(Введите ,n, строки по ,m, элементов:);

nol:=true;

otr:=false;

min:=0;

for j:=1 to n do for i:=1 to m do begin {Ввод элементов матрицы}

read(matr[i,j]);

if matr[i,j]<>0 then nol:=false; {Установка флага, что не все элементы равны 0}

if matr[i,j]<0 then otr:=true; {Установка флага наличия отрицательных элементов}

if matr[i,j]<min then min:=matr[i,j];{Определение минимального элемента}

end

end else begin {Иначе берем матрицу из константы}

n:=3;m:=3;

for i:=1 to m do for j:=1 to n do matr[i,j]:=matr1[i,j];

end;

clrscr;

writeln (Итеративный метод Брауна-Робинсона.);

if nol then writeln(Все элементы матрицы равны 0!) else begin {если установлен флаг нуля, то алгоритм не работает}

if otr then for j:=1 to n do for i:=1 to m do matr[i,j]:=matr[i,j]-min;{если есть отрицательные элементы,}

writeln(Начальная матрица:); {Вывод окончательной матрицы}

for j:=1 to n do begin

for i:=1 to m do write(matr[i,j]:4);

writeln;

end;

write(Какой игрок начнет игру? ); {Вод стартовых значений}

readln(pl);

write(Какую стратегию выберет ,pl, игрок? );

readln(st);

write(Количество итераций? );

readln(kl);

a:=1; {заглавие таблицы}

writeln( № стр. выигрыш 1-го игр. стр. выигрыш 2-го игр. V W Y);

repeat

write(a:2,st:6, ); {формирование таблицы: номер итерации, стратегия 1игр.}

if pl=2 then begin

for i:=1 to n do begin

win_one[a,i]:=matr[st,i]+win_one[a-1,i];{формирование матрицы выигрышей 1 игр.}

write(win_one[a,i]:4); {вывод на экран}

end;

st1:=igr_one; {определение ответной стратегии 2 игр.}

gotoxy(32,wherey);

write(st1:10, ); {вывод на экран}

for i:=1 to m do begin

win_two[a,i]:=matr[i,st1]+win_two[a-1,i]; {формирование матрицы выигрышей 2 игр.}

write(win_two[a,i]:4); {вывод на экран}

end;

gotoxy(64,wherey);

write(win_one[a,st1]:4); {вывод наибольшего суммарного выигрыша 1 игр.}

st:=igr_two; {определение ответной стратегии 1 игр.}

write(win_two[a,st]:4); {вывод наибольшего суммарного выигрыша 2 игр.}

write((win_one[a,st1]+win_two[a,st])/(a*2):6:2);{приближенное значение цены игры}

end

else

begin

for i:=1 to m do begin

win_one[a,i]:=matr[i,st]+win_one[a-1,i];{формирование матрицы выигрышей 1 игр.}

write(win_one[a,i]:4);

end;

st1:=igr_one; {определение ответной стратегии 2 игр.}

gotoxy(32,wherey);

write(st1:10, );

for i:=1 to n do begin

win_two[a,i]:=matr[st1,i]+win_two[a-1,i];{формирование матрицы выигрышей 2 игр.}

write(win_two[a,i]:4);

end;

gotoxy(64,wherey);

write(win_one[a,st1]:4); {вывод наибольшего суммарного выигрыша 1 игр.}

st:=igr_two; {определение ответной стратегии 1 игр.}

write(win_two[a,st]:4); {вывод наибольшего суммарного выигрыша 2 игр.}

write((win_one[a,st1]+win_two[a,st])/(a*2):6:2);{приближенное значение цены игры}

end;

a:=a+1; {увеличение счетчика итераций}

writeln;

until a=kl+1;

end;

readln;

readln;

end.

Список литературы

1. Беленький В.З. Итеративные методы в теории игр и программировании. М.: «Наука», 1977

2. Блекуэлл Д.А. Теория игр и статистических решений. М., Изд. иностранной литературы, 1958

3. Вентцель Е.С. Элементы теории игр. М., Физматгиз, 1961

4. Вилкас Э.И. Оптимальность в играх и решениях. М.: «Наука», 1986

5. Воробьёв И.Н. Математическая теория игр. М.: «Знание», 1976

6. Давыдов Э.Г. Методы и модели теории антагонистических игр. М.: «Высшая школа», 1990

7. Дрешер М. Стратегические игры. Теория и приложения. М., 1964

8. Исследование операций в экономике / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман. М.: «Банки и биржи», Юнити, 1997

9. Итеративный алгоритм решения матричных игр// Доклады Академии наук СССР, том 238, №3, 1978

10. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: «Мир», 1964

11. Крапивин В.Ф. Теоретико-игровые методы синтеза сложных систем в конфликтных ситуациях. М.: «Советское радио», 1972

12. Крушевский А.В. Теория игр: [Учебное пособие для вузов]. Киев: «Вища школа», 1977

13. Льюис Р., Райфа Х. Игры и решения. М.,1961

14. Морозов В.В., Старёв А.Г., Фёдоров В.В. Исследование операций в задачах и упражнениях. М.: «Высшая школа», 1996

15. Матричные игры. [Сборник переводов]. Под ред. Воробьёва И.Н. М., Физматгиз, 1961

16. Оуэн Г. Теория игр. [Учебное пособие]. М.: «Мир», 1973

17. Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семен Е.А. Теория игр. М., 1989

18. Школьная энциклопедия математика. Ред. С. М. Никольский, М.: 1996, с. 380

Делись добром ;)