1.1 Вывод уравнения теплопроводности
1.1.1 Поток тепла через элементарный объем
Вывод дифференциального уравнения сделаем упрощенным методом [4]. Предположим, что имеется одномерное температурное поле (тепло распространяется в одном направлении, например в направлении оси x). Термические коэффициенты считаем независимыми от координат и времени.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Выделим в однородной и изотропной неограниченной пластине элементарный параллелепипед, объем которого равен dxdydz (Рис. 1). Количества тепла, втекающего через левую грань dydz в параллелепипед в единицу времени, равно , а количества тепла, вытекающее через противоположную грань в единицу времени, равно .
Если , то элементарный параллелепипед будет нагреваться, тогда разница между этими потоками тепла по закону сохранения энергии равна теплу, аккумулированному данным элементарным параллелепипедом, т. е.
(1.1)
Величина есть неизвестная функция x. Если ее разложить в ряд Тейлора и ограничиться двумя первыми членами ряда, то можно написать:
.
Тогда из равенства (1.1) будем иметь:
.
Применяя уравнение теплопроводности , получим
или
. (1.2)
Уравнение (1.2) есть дифференциальное уравнение теплопроводности для одномерного потока тепла. Если тепло распространяется по нормали к изометрическим поверхностям, то вектор q можно разложить на три составляющие по координатным осям. Количество аккумулированного элементарным объемом тепла будет равно сумме
.
Тогда дифференциальное уравнение примет вид
. (1.3)
где - оператор Лапласа.
Иногда внутри тела имеются источники тепла. Источники тепла могут быть положительными и отрицательными. В качестве примера отрицательного источника тепла можно считать испарение влаги внутри материала при нагревании. Пусть удельная мощность (количество поглощаемого или выделяемого тепла в единицу времени и в единице объема тела) этих источников будет равна (Вт/м3). Тогда количество тепла, выделяемого в элементарном объеме в единицу времени, будет равно ; это количества тепла, чтобы сохранить равенство (1.1). После аналогичных преобразований дифференциальное уравнение теплопроводности с источниками тепла будет иметь вид
. (1.4)
1.1.2 Общий метод вывода уравнения теплопроводности
Дифференциальное уравнение (1.3) можно вывести более общим методом, воспользовавшись формулой Остроградского-Гаусса [2].
Пусть имеется некоторая среда, в которой можно выделить объем V, ограниченный поверхностью S. Тепло распространяется в этой среде путем теплопроводности. Количество тепла, прошедшего через поверхность S в единицу времени, будет равно
(здесь интеграл берется по всей поверхности S). При отсутствии источников тепла этот тепловой поток вызовет изменение внутренней энергии среды в данном объеме в единицу времени на величину
(здесь интеграл берется по всему объему V).
По закону сохранения энергии изменение внутренней энергии среды в объеме V равно потере тепла через поверхность S, ограничивающую данный объем, т. е.
(1.5)
Используем преобразование Остроградского-Гаусса
.
Тогда равенство (1.5) примет вид
(1.6)
откуда, ввиду произвольности объема, получаем
(1.7)
Если коэффициент теплопроводности не зависит от температуры, то из (1.7) получим дифференциальное уравнение теплопроводности
. (1.8)
1.2 Постановка краевой задачи
1.2.1 Начальные условия
Дифференциальное уравнение теплопроводности устанавливает связь между временными и пространственными изменениями температуры тела; оно математически описывает перенос тепла внутри тела. Для того чтобы найти температурное поле внутри тела в любой момент времени, т. е. чтобы решить дифференциальное уравнение, надо знать распределение температуры внутри тела в начальный момент времени (начальное условие), геометрическую форму тела и закон взаимодействия между окружающей средой и поверхностью тела (граничное условие).
Совокупность начального и граничного условий называется краевыми условиями; начальное условие называется временным краевым условием, а граничное условие - пространственным краевым условием.
Начальное условие определяется заданием закона распределения температуры внутри тела в начальный момент времени, т. е.
, (2.1)
где - известная функция.
Во многих задачах принимают равномерное распределение температуры в начальный момент времени; тогда
. (2.2)
1.2.2 Граничные условия
Граничное условие может быть задано различными способами.
1. Граничное условие первого рода состоит в задании распределения температуры по поверхности тела в любой момент времени, т. е.
, (2.3)
где - температура на поверхности тела.
В частном случае , т. е. температура на поверхности постоянна на протяжении всего процесса теплообмена. Это может быть осуществлено при искусственном поддержании постоянной температуры или при особых условиях теплообмена между окружающей средой и поверхностью тела.
2. Граничное условие второго рода состоит в задании плотности теплового потока для каждой точки поверхности тела как функции времени, т. е.
. (2.4)
Простейший случай граничного условия второго рода состоит в постоянстве плотности теплового потока:
. (2.5)
Такой случай теплообмена имеет место при нагревании тел в высокотемпературных печах, где передача тепла в основном происходит при помощи излучения по закону Стефана - Больцмана, когда температура тела значительно меньше температуры излучающих поверхностей.
3. Граничное условие третьего рода характеризует закон конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой при постоянном потоке тепла (стационарное температурное поле). В этом случае количества тепла, передаваемого в единицу времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду с температурой в процессе охлаждения (), прямо пропорционально разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, т. е.
(2.6)
где - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплообмена (). Для процесса нагревания тела можно написать аналогичное соотношение, поменяв местами Тп и Тс. Коэффициент теплообмена числено равен количеству тепла, отдаваемого (или получаемого) единицей площади поверхности тела в единицу времени при разности температур между поверхностью и окружающей средой в 10. Соотношение (2.6) можно получить из закона теплопроводности Фурье, полагая, что при обтекании поверхности тела жидкостью или газом передача тепла от жидкости к телу вблизи его поверхности происходит по закону Фурье:
, (2.7)
где - коэффициент теплопроводности жидкости, - условная толщина пограничного слоя, .
4. Граничное условие четвертого рода соответствует теплообмену поверхности тела с окружающей средой (конвективный теплообмен тела с жидкостью) или теплообмену соприкасающихся твердых тел, когда температура соприкасающихся поверхностей одинакова. При обтекании твердого тела потоком жидкости (или газа) передача тепла от жидкости (газа) к поверхности тела в непосредственной близости к поверхности тела (ламинарный пограничный слой) происходит по закону теплопроводности (молекулярный перенос тепла), т. е. имеет место теплообмен, соответствующий граничному условию третьего рода
. (2.16)
Помимо равенства температур, имеет место также равенство потоков тепла
. (2.17)
Таким образом, при конвективном теплообмене твердого тела с жидкостью в случае стационарного температурного поля пользуются граничным условием третьего рода - соотношением (2.14), а в случае нестационарного температурного поля () необходимо при точной формулировке задачи применять граничные условия четвертого рода [соотношение (2.16), (2.17)]. В случае нестационарного лучистого теплообмена необходимо применять граничные условия второго рода (соотношение (2.4)). При малых разницах температур, когда , можно использовать граничное условие третьего рода. При этом величина будет обозначать коэффициент лучистого теплообмена.
2. Методы решения задач теплопроводности
2.1 О методах решения краевых задач
Существующие методы решения краевых задач можно классифицировать по различным признакам; один из них - форма, в которой получаются результаты решений. Решение задачи может быть представлено в виде формулы, позволяющей по заданному значению аргумента получить значение искомой функции. В этом случае говорят, что решение получено аналитическим методом.
С помощью численных методов решение может быть представлено численными значениями функции в некоторых заданных численных значениях аргумента.
Часто для анализа аналитического решения на некотором этапе применяют численные методы, т. е. в этом случае можно говорить о синтезе аналитических и численных методов.
Аналитические методы позволяют получить более наглядное решение, по которым легко проанализировать влияние всех факторов на результат решений.
Использование численных методов часто дает возможность решать сложные краевые задачи, недоступные для решения аналитическими методами. Однако это не принижает роли аналитических методов решения краевых задач теплопроводности, особенно в тех случаях, когда аналитическое решение может быть получено точнее и быстрее, чем численное.
Важным критерием для аналитических методов является возможность решения нелинейных краевых задач. Если метод разработан для решения нелинейных задач, то он применим и для решения линейных задач, обратное же часто невозможно.
Для решения линейных задач теории теплопроводности применяются:
I. Классические методы
1) метод разделения переменных (метод Фурье); 2) метод функций источников (функций Грина); 3) метод тепловых потенциалов;
II. Методы интегральных преобразований:
1) в бесконечных пределах; 2) в конечных пределах. При этом ядра интегральных преобразований выбираются различными в зависимости от формы тела и граничных условий.
Для решения нелинейных краевых задач теории теплопроводности применяются:
III. Вариационные методы:
1) Ритца; 2) Канторовича Л.В.; 3) Треффтца; 4) Био; 5) Куранта; 6) Лейбензона.
IV. Методы линеаризации (сведение нелинейной краевой задачи к линейной):
1) методы подстановок (алгебраические, интегральные); 2) приемы линеаризации; 3) методы последовательных приближений; метод возмущений (метод малого параметра).
V. Проекционные методы:
1) коллокаций; 2) Бубнова-Галеркина; 3) моментов; 4) интегральные методы (интегрального теплового баланса, осреднения функциональных поправок).
VI. Методы сведения краевой задачи к уравнениям и задачам других типов:
1) приведение краевой задачи с нелинейными граничными условиями к эквивалентному нелинейному функциональному уравнению; 2) приведение краевой задачи с коэффициентами переноса, зависящими от температуры, к нелинейному интегральному уравнению; 3) приведение краевой задачи теплопроводности к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения.
Приведенная классификация методов является весьма условной, так как многие методы можно отнести не к одной группе методов, а к нескольким. Естественно, что существует ряд методов, которые не попали в данную классификацию.
2.2 Анализ дифференциального уравнения теплопроводности
Дифференциальное уравнение теплопроводности без источников тепла можно написать так:
. (1.1)
Известно, что решения этого уравнения обладают свойством наложения аналогично решениям обыкновенного однородного дифференциального уравнения, т. е. если и - два частных решения уравнения, то выражение является также решением этого уравнения при произвольных значениях постоянных и . Дифференциальное уравнение с частными производными типа (1.1) имеет бесчисленное множество частных решений.
Поясним это на примере. Имеем однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (a, b, c, d, e, f) для некоторой функции T от двух переменных и :
. (1.2)
Тогда подстановка
(1.3)
является частным решением этого уравнения, именно
, , , , .
Если подставим эти соотношения в уравнение (1.2), то после сокращения на получим так называемое уравнение коэффициентов
. (1.4)
Следовательно, выражение (1.3) является частным решением для тех значений k и l, которые удовлетворяют уравнению коэффициентов (1.4). Таким образом, можно взять произвольное значение одного из этих двух коэффициентов, но тогда второй должен находится из уравнения (1.4), т. е. получим бесчисленное множество частных решений.
Уравнение коэффициентов является квадратным уравнением, например, по отношению k (считаем k переменным, а l постоянным), и в зависимости от значения его дискриминанта можно получить для k два корня: 1) неравных действительных, 2) равных действительных и 3) комплексно-сопряженных.
Получаемый результат для корней k находится в зависимости от физической сущности изучаемого процесса, описываемого дифференциальным уравнением (1.2).
Необходимо обратить внимание на то, что решение (1.3) можно написать как произведение двух функций:
,
одна из которых зависит только от , а другая зависит только от .
Однако существуют такие решения уравнения (1.2), для которых это разделение невозможно.
2.3 Аналитические методы решения
2.3.1 Метод разделения переменных
Классический метод решения дифференциального уравнения теплопроводности состоит в том, что находится совокупность частных решений , удовлетворяющих уравнению и граничному условию, а затем по принципу наложения составляется ряд этих решений:
. (2.1)
Коэффициенты находятся из начального условия.
Строго говоря, это свойство наложения для бесконечного ряда нуждается в специальном обосновании, так как оно безоговорочно справедливо только для конечной суммы. Такое обоснование состоит в том, что необходимо доказать равномерную сходимость ряда, полученного после дифференцирования ряда (2.1), а также законность почленного интегрирования ряда при определении коэффициентов . Это обоснование можно найти в монографиях по математической физике.
Частное решение Т ищется в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от времени , а другая зависит только от координат, т. е. [1]
, (2.2)
где С - произвольная постоянная.
Если подставим решение (2.2) в уравнение (2.1), то получим
;
это равенство можно написать еще так:
. (2.3)
Левая часть равенства может зависеть только от или быть постоянным числом, но она не зависит от координат. Правая часть может зависеть только от координат или быть постоянным числом, но она не зависит от времени. Равенство должно иметь место при любых значениях времени и координат. Это возможно только в том случае, если правая и левая части равенства равны некоторой постоянной величине D, т. е.
; (2.4)
. (2.5)
Уравнение (2.4) можно проинтегрировать, и тогда получим
. (2.6)
Постоянную интегрирования не пишем, поскольку ее можно отнести к постоянной C.
Постоянная величина D выбирается из физических соображений. Для тепловых процессов, стремящихся к температурному равновесию, когда по истечению длительного промежутка времени должно установиться определенное распределение температуры, величина D не может быть положительной величиной, она будет только отрицательной. Если D есть величина положительная, то при длительном промежутке времени температура будет больше наперед заданной величины, т. е. стремится к бесконечности, что противоречит сущности процесса.
Если температура тела есть периодическая функция времени, например в случае распространения тепловых волн в теле, то величина D должна быть мнимой величиной, чтобы простой экспоненты (2.6) получить периодическую функцию времени.
Рассмотрим первый случай, когда . Так как величина D пока произвольная постоянная по числовому значению, то можно положить
, (2.7)
где а - коэффициент температуропроводности (величина положительная), k - некоторая постоянная, которая определяется из граничных условий. Подставляя эти значения для D, получим:
, (2.8)
. (2.9)
Дифференциальное уравнение (2.9) часто называют уравнением Покеля; оно хорошо изучено в математической физике.
Таким образом, применяя метод Фурье, уравнение теплопроводности сводим к уравнению типа Покеля, решение которого определяется геометрической формой тела, начальным распределением температуры, а также условиями теплообмена тела с окружающей средой или окружающими телами.
Пусть при соответствующих заданных условиях известно решение уравнения (2.9), т. е. нами найдена функция . Тогда частное решение уравнения теплопроводности можно написать так:
. (2.10)
Решение (2.10) удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности при любых значениях C и k, т. е. является частным решением. Следовательно, давая постоянным C и k различные значения, получим бесчисленное множество частных решений.
По принципу наложения общее решение будет равно сумме частных решений согласно соотношению (2.1). Постоянные k определяются граничными условиями, а постоянные C - из начальных условий.
В простейших случаях, когда зависит только от одной координаты (одномерные задачи, связанные с нахождением симметричного температурного поля в неограниченной пластине, цилиндре, шаре), решение уравнения (2.9) можно представить как сумму двух частных решений, и , т. е.
. (2.11)
Это обусловлено тем, что общее решение всякого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка
(2.12)
можно написать в виде
, (2.13)
где и - постоянные, а и являются линейно независимыми интегралами уравнения (2.12), т. е. такими интегралами, отношение которых не является постоянной величиной: .
Достаточно знать только одно линейное независимое решение, например , тогда находится по формуле:
. (2.14)
Вернемся теперь к анализу частного решения дифференциального уравнения теплопроводности. Согласно соотношению (2.11) частное решение (2.10) можно записать так:
, (2.15)
т. е. оно представляет собой сумму или линейную комбинацию двух собственных функций.
В общем случае величина k определяется из граничных условий, а постоянные C и D - из начального условия.
Частное решение непригодно для расчета температурного поля, так как из частного решения нельзя определить постоянные C и D. Например, в начальный момент времени температура может быть постоянной , что не следует из частного решения (2.15).
Если положить , то получается, что постоянная должна быть равна переменной , чего быть не может. Поэтому для получения общего решения уравнения теплопроводности, удовлетворяющего и начальным условиям, берут сумму частных решений, в которых постоянные C и D имеют свои определенные значения. Температура в начальный момент времени может быть заданной функцией . Тогда при помощи совокупности таких частных решений можно как угодно близко подойти к заданному распределению. Это осуществляется подбором подходящих значений C и D; такой путь подбора постоянных C и D обычно называют удовлетворением решения начальному условию.
Таким образом, первое частное решение можно написать так:
,
второе частное решение
и т. д.
Общее решение будет иметь вид
. (2.16)
При этом необходимо, чтобы функция , описывающая начальное распределение температуры, могла быть разложена в ряд по собственным функциям:
.
Поясним вышерассмотренную методику на конкретном примере. Дифференциальное уравнение теплопроводности для неограниченной пластины имеет вид
. (2.17)
Ищем частное решение этого уравнения в виде произведения двух функций:
.
Тогда после подстановки его в дифференциальное уравнение получим:
. (2.18)
Интегрирование уравнения
даст значение для функции , т. е. .
Дифференциальное уравнение для функции имеет вид
. (2.19)
Следовательно, функция должна быть такова, чтобы ее вторая производная была равна самой функции, умноженной на некоторую величину . Легко показать, что такими функциями могут быть sinkx или coskx, а именно
;
.
Таким образом, sinkx и coskx являются частными решениями уравнения (2.19), причем эти решения линейно независимы, так как
.
Общее решение уравнения (2.19) будет суммой частных решений:
, (2.20)
где C и D - произвольные постоянные.
Второе частное решение можно было получить также по формуле (2.14), зная первое решение , а именно
(в этом случае p(x)=0). Общее решение будет иметь тот же вид:
,
где - произвольная постоянная.
Частное решение дифференциального уравнения теплопроводности будет иметь вид
. (2.21)
Постоянная k определяется из граничных, а постоянные C и D - из начальных условий; они принимают вполне определенные значения в зависимости от условий задачи. Подробно методика расчета будет изложена при рассмотрении отдельных конкретных задач. Общее решение можно написать так:
. (2.22)
2.3.2 Методы интегрального преобразования
2.3.2.1 Операционные методы
Для многих задач теплопроводности использование классических методов оказывается неэффективным, например, применение метода разделения переменных для задач с внутренними источниками тепла. Решения, получаемые классическими методами, не всегда удобны для практического использования. Часто требуется иметь приближенное решения, которые получить из классических решений трудно. В результате запросов техники за последние десятилетия инженерам и физиками стали широко применятся операционные методы решения. Основные правила и теоремы операционного исчисления были получены проф. М. Ващенко-Захарченко и независимо от него Хевсайдом. Наибольшее распространение они нашли в электротехнике, благодаря работам Хевсайда. Этот метод оказался настолько эффективным, что позволил решить многие задачи, считавшиеся до него почти неразрешимыми.
В дальнейшем операционные методы нашли применение в теплофизике при решении разнообразных задач нестационарной теплопроводности, в химической технологии при решении задач нестационарной диффузии. В последние годы эти методы стали использоваться при решении задач гидродинамики, переносе нейтронов в поглощающих средах т. д.
Строгое математическое обоснование операционного метода Хевисайда дано в работах Бромвича, Джефрейса, Эфроса и Данилевского, Дейча, Ван-дер-Поля, Диткина и др. В настоящее время он рассматривается как самостоятельный метод решения уравнений математической физики, по своей стройности равноценный классическим методам. Операционный метод Хевисайда равнозначен методу интегрального преобразования Лапласа.
Метод преобразования Лапласа состоит в том, что изучается не сама функция (оригинал), а ее видоизменение (изображение). Это преобразование осуществляется при помощи умножения на экспоненциальную функцию и интегрирования ее в определенных пределах. Поэтому преобразование Лапласа является интегральным преобразованием.
Интегральное преобразование функции определяется формулой
, (2.23)
где является оригиналом функции, а - ее изображением, которое обозначается в виде . Здесь s может быть и комплексным числом, причем предполагается, что вещественная часть его будет положительной. Для того чтобы изображение существовало, интеграл (2.23) должен сходиться. Это накладывает определенные ограничения на функцию .
Если задача решена в изображениях, то нахождение оригинала по изображению (обратное преобразование) в общем случае выполняется по формуле обращения
. (2.24)
Интегрирование происходит в комплексной плоскости вдоль прямой , параллельной мнимой оси. Действительные числа выбираются так, чтобы все особые точки подынтегрального выражения в (2.24) лежали в левой полуплоскости комплексной плоскости . Методика такого интегрирования детально изложена в специальных руководствах по теории функций комплексного переменного. В подавляющем большинстве случаев обратное преобразование можно осуществить, не прибегая к контурному интегрированию, а воспользовавшись таблицами.
Нахождение оригинала функции по ее изображению может быть выполнено особенно быстро, если изображение совпадает с одним из изображений, содержащемся в таблице. Вместо формулы (2.24) для определения оригинала функции по ее изображению можно воспользоваться следующей формулой обращения [2]:
. (2.24а)
Эта формула в принципе дает возможность получить оригинал функции лишь при помощи операций дифференцирования и перехода к пределу.
1. Если изображение представляет собой дробную функцию s:
, (2.25)
которая является частным случаем двух целых трансцендентных функций, то по теореме разложения имеем
, (2.26)
где - простые корни функции ; при этом знаменатель имеет счетное множество простых корней и не содержит свободного члена при условии, что , для этого необходимо, чтобы существовал интеграл (2.24) от функции .
2. Если изображение представляет собой отношение двух полиномов (дробно-рациональная функция), причем степень полинома меньше степени полинома и полином имеет корни кратности k в точках sm, то
, (2.26а)
где сумма берется по всем корням . Если все корни простые, т. е. все k равны единице, то формула (2.26а) переходит в (2.26).
Для иллюстрации техники применения преобразования Лапласа приведем следующий пример.
Дифференциальное уравнение теплопроводности для одномерного потока тепла в пластине имеет вид
(2.27)
Применим преобразование Лапласа относительно переменной :
, (2.28)
откуда получим однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами относительно изображения:
, (2.29)
где функция u(x) описывает начальное распределение температуры.
В этом примере рассмотрим более простой случай, когда
T(x,0)=u(x)=0, (2.30)
т. е. когда в начальный момент времени температура во всех точках была одинакова и равна нулю.
Тогда уравнение (2.29) примет вид
. (2.31)
Решение дифференциального уравнения (2.31) можно написать непосредственно, а именно
, (2.32)
где А, В, и - постоянные относительно x, но зависящие от s величины.
Если заданы граничные условия, то, определив постоянные А и В, или А1 и В1, при помощи таблицы изображений или теоремы разложения находим оригинал .
Рассмотрим ту же задачу, но при начальном распределении температуры как некоторой функции х, т. е.
T(x,0)=u(x). (2.33)
После применения преобразования Лапласа относительно переменной к дифференциальному уравнению (2.28) получим дифференциальное уравнение для изображения (2.29):
. (2.34)
Решение этого неоднородного уравнения легко получить стандартными методами, например методами вариации произвольных постоянных, изложенных в учебниках по теории обыкновенных дифференциальных уравнений [Л].
Оно имеет вид
(2.35)
После определения произвольных постоянных A и B из граничных условий решение задачи сведется к определению оригинала по изображению .
Если в начальный момент времени температура во всех точках одинакова и равна , т. е. , то из (2.35) получаем
, (2.36)
где
, (2.37)
, (2.38)
, . (2.39)
К этому же результату можно было прийти, если в дифференциальном уравнении (2.34) при постоянной начальной температуре сделать замену переменной , в результате чего уравнение (2.34) превратилось бы в уравнение (2.31), а решение последнего известно.
Так как , , , - постоянные относительно x и определяются из граничных условий, то верхние индексы можно отбросить и написать решение дифференциального уравнения (2.34) при постоянной начальной температуре в таком виде:
; (2.40)
Постоянные A и B каждый раз определяются из соответствующих граничных условий.
В заключении отметим, что наибольшая трудность в решение уравнения теплопроводности для разнообразных краевых условий состоит в нахождении оригинала по полученному изображению .
Применение интегрального преобразования Лапласа к решению уравнения теплопроводности имеет ряд преимуществ перед классическими методами интегрирования дифференциальных уравнений и перед некоторыми другими методами интегральных преобразований.
Во-первых, процесс применения интегрального преобразования Лапласа однотипен для задач самого различного характера и различных форм тела, способ решения является более прямым, не требующим особого искусства и подхода к решению каждого нового типа задач.
Во-вторых, интегральные преобразования Лапласа позволяют одинаково хорошо решать задачи при граничных условиях первого, второго, третьего и четвертого родов, без введения каких-либо новых допущений или преобразований.
В-третьих, наличие большого числа простых теорем позволяет получить наиболее подходящее для конкретной обстановки результаты; в частности, получать решения в форме, удобной ля расчета при малых и больших значениях времени.
В-четвертых, этот метод позволяет особенно легко решать задачи с простыми начальными условиями; наиболее эффективно использование преобразование Лапласа по временной координате, а также по пространственной координате для тел, имеющих неограниченную или полуограниченную протяженность.
В-пятых, эффективность решения разнообразных задач методом преобразования Лапласа в значительной мере усиливается наличием весьма подробных таблиц изображений.
Интегральное преобразование Лапласа имеет свои недостатки. В частности, известные трудности возникают при решении задач, когда начальные условия заданы в виде функции пространственных координат, или при решении некоторых многомерных задач. В этой связи был предложен ряд методов интегральных преобразований по пространственным координатам в соответствии с геометрической формой тела.
Если преобразование берется по пространственной координате x, то интегральное преобразование функции f(x) может быть представлено так:
уравнение теплопроводность
. (2.41)
Если ядро преобразования K(p,x) берется в виде или , то это интегральное преобразование соответственно называется синус- или косинус-преобразованием Фурье. Если же ядром преобразования выбрана функция Бесселя , то оно носит название преобразование Ханкеля. В частном случае, если пределы интегрирования изменяются от до , а ядро имеет вид , то получаем комплексное интегральное преобразование Фурье. Комплексное преобразование Фурье удобно применять для тел неограниченной протяженности, синус-преобразование Фурье следует использовать, когда на поверхности тела задано значение функции, т. е. имеют место граничные условия первого рода, а косинус-преобразование Фурье - когда решаются дифференциальные уравнения переноса при граничных условиях второго рода. Преобразование Ханкеля применяются в том случае, когда тело имеет осевую симметрию. Практическое применение названных интегральных преобразований после появления подробных таблиц изображения не вызывает особых затруднений.
В тех случаях, когда использование преобразований Фурье оправдано, а значения интересующих нас изображений отсутствуют, оригиналы изображений можно найти по следующим достаточно простым формулам обращения для:
комплексного преобразования Фурье
, (2.42)
синус-преобразования Фурье
, (2.43)
косинус-преобразования Фурье
, (2.44)
преобразование Ханкеля
. (2.45)
Особенностью названных преобразований является то, что верхний предел интегрирования равен бесконечности. Если в преобразовании Лапласа (2.23), которое в большинстве случаев применяется по отношению к временной координате, бесконечный предел интегрирования обусловлен самим ходом нестационарного временного процесса, то в преобразованиях Фурье и Ханкеля (2.42)-(2.45) по пространственным координатам наличие бесконечного предела суживает круг применения этих методов. Другими словами, интегральное преобразование (2.42)-(2.45) успешно можно применять только к задачам для тел полуограниченной протяженности. Кроме того, следует отметить, что при использовании преобразований Фурье, особенно синус- и косинус-преобразований, необходимо обращать большое внимание на сходимость интегралов, так как условия сходимости здесь становятся более жесткими, чем условия сходимости соответствующих интегралов для преобразования Лапласа.
2.3.2.2 Конечные интегральные преобразования
Ограниченность интегральных преобразований Фурье, Ханкеля и отчасти Лапласа, с одной стороны, и острая необходимость в решении задач с конечной областью изменения переменных, с другой, привела к созданию методов конечных интегральных преобразований. Даже в тех случаях, когда эти методы позволяют решать круг задач, который решается классическими методами с помощью рядов Фурье или Фурье-Бесселя, им следует отдать предпочтение. Простота методики решения - ее «стандартность» - дает методу конечных интегральных преобразований большие преимущества перед классическими методами, хотя математически он эквивалентен методу собственных функций.
Впервые идея метода конечных интегральных преобразований типа
(2.46)
была предложена Н.С. Кошляковым. Наиболее полно теория таких интегральных преобразований была разработана Г.А. Гринбергом, который дал обобщение этих методов на случай скачкообразного изменения свойств среды в направлении той координаты, по которой производится преобразование. Детальная разработка интегральных преобразований с конечными пределами была проведена Снеддоном, Трантером, Дейчем и др.
Если граница интегрирования заключается между 0 и l, ядра конечных синус- и косинус-преобразований Фурье, а также преобразования Хенкеля соответственно имеют вид [1]:
; (2.47)
(2.48)
(при граничных условиях первого и второго родов , а при граничных условиях третьего рода являются корнями уравнения );
, (2.49)
где - корень уравнения (граничные условия первого рода), при граничных условиях третьего рода определяется из уравнения
. (2.50)
Формула обращения обычно находится при помощи разложения функции в ряды по ортогональным функциям соответствующей задачи Штурма - Луивилля. Поэтому решения, получаемые этими методами, имеют те же принципиальные недостатки, как и решения, получаемые классическими методами.
В целях преодоления упомянутых выше трудностей были разработаны различные методы приближенных интегральных преобразований, в которых прямое преобразование и обратный переход осуществлялись по приближенным формулам. Вместе с тем возникла идея разработки метода так называемых конечных интегральных преобразований Лапласа, или правильнее, конечных интегральных преобразований Грина. Остановимся на последнем вопросе несколько подробнее.
Формулой обращения интегрального преобразования Лапласа в общем случае является интеграл Римана-Меллина. Эта формула позволяеь получать решения в интересующей нас форме. Идея метода состоит в том, чтобы выбор ядра интегрального преобразования осуществлялся в соответствии дифференциальным уравнением и граничными условиями, т. е. с учетом геометрической формы тела и законом его взаимодействия с окружающей средой. Другими словами, ядром преобразования является функция Грина для данной задачи. Изображение функции f(x) получается с помощью интегрального преобразования
, (2.51)
а обратное преобразование по формуле (2.24), где вместо следует подставить .
Такой способ интегрального преобразования имеет свое физическое обоснование. Дело в том, что любое интегральное преобразование, взятое по пространственным координатам, является с физической точки зрения некоторым усреднением исследуемой физической величины. Вполне естественно, что это усреднение должно быть сделано не только в соответствии с характером процесса и формой тела (видом дифференциального уравнения), но и в соответствии с граничными условиями. В этом случае решение для изображения функции будет представлять самостоятельный интерес, поскольку такое преобразование в физическом отношении будет представлять переход от анализа актуальных значений исследуемых функций (дифференциальное уравнение, условия однозначности) к усредненным значениям, сделанным в соответствии с конкретной постановкой той или иной задачи. Таким образом, методы интегрального преобразования приобретают новое весьма существенное преимущество перед классическими методами, так как они дают возможность получить ряд закономерностей протекания физических процессов на основе анализа решения для усредненных значений исследуемой физической величины (анализ решения для изображения). Это обстоятельство сближает данные аналитические методы с методами теории подобия.
Особые преимущества интегральных преобразований обнаруживаются при решении систем дифференциальных уравнений в частных производных. Методика решения систем уравнений при этом принципиально не отличается от методики решения отдельных уравнений и осуществляется рядом последовательных операций. Например, для одномерных задач теплопроводности, зависящих от координат и времени, необходимо:
1) на основе анализа дифференциального уравнения и краевых условий выбрать подходящее интегральное преобразование или группу интегральных преобразований;
2) умножить дифференциальное уравнение и граничные условия на выбранное ядро преобразования и проинтегрировать полученные выражения в соответствующих пределах по переменной, подлежащей исключению; в результате вместо системы дифференциальных уравнений в частных производных относительно оригинала функций получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для изображений функций;
3) решить обыкновенное дифференциальное уравнение относительно преобразованных функций;
4) уточнить выражения произвольных постоянных, содержащихся в решении уравнения, для чего используются краевые условия;
5) найти оригиналы преобразованных функций , а следовательно, и окончательное решение задачи.
3. Численные методы решения уравнения теплопроводности
Методы математической физики, в частности методы интегральных преобразований, позволяют эффективно решать сравнительно узкий круг задач теории переноса. При рассмотрении систем дифференциальных уравнений с весьма общими краевыми условиями точные методы решения наталкиваются на большие трудности, которые становятся непреодолимыми при рассмотрении нелинейных задач. В этих случаях приходится обращаться к тем или иным численным методам решения. Важно отметить, что использование численных методов зачастую позволяет отказаться от упрощенной трактовки математической модели процесса.
3.1 Теория разностных методов
3.1.1 История развития метода
В настоящее время практически наиболее ценным методом является метод конечных разностей, или, как его еще называют метод сеток.
Классические методы математической физики (Фурье и др.) позволяют решать уравнение теплопроводности только для частных случаев, когда начальные и граничные условия имеют достаточно простой вид.
Однако, для построения математических моделей адекватной реальному процессу, необходимо учитывать зависимость от температуры теплофизических характеристик материала, изменение формы тепла, возможность фазовых превращений - это приводит к необходимости использовать приближенные методы расчета.
В практике вычислений чаще всего применяется метод сеток (конечных разностей), основанный на замене производных, входящих в дифференциальное уравнение, разностными отношениями.
Конечноразностный метод интегрирования уравнений в частных производных, является сравнительно молодой отраслью прикладного анализа.
Первая работа, положившая основу метода сеток, принадлежит немецкому математику К. Рунге и вышла в свет в 1908 г.. В дальнейшем ряд авторов применяли метод сеток к различным типам линейных и даже нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными.
К задачам теплопроводности этот метод был впервые применен в 1924 году Шмидтом. Одной из важнейших работ в этой области является монография советского математика Ш.Е. Микеладзе, вышедшая в свет в 1936 г.. С 1932 года начали печататься работы Д.Ю. Панова, а в 1938 г. вышла его книга, в которой собраны практически ценные результаты, имеющиеся в русской и иностранной литературе. Можно считать, что с появлением этих работ задача численного интегрирования уравнений в частных производных получила твердые основания для своего теоретического и практического решения.
В 1955 году возник метод дробных шагов как метод построения экономичных конечно-разностных схем. Этот метод явился ответом на реальную потребность возникшую в прикладной математике - создание простых экономичных разностных схем решения сложных многомерных задач теории теплопроводности. Этот метод расширялся и углублялся советскими и американскими учеными Дуглас, Рэкфорд, Самарский А.А., Марчук Г.И., Яненко Н.Н. и др. [Л]
3.1.2 Метод конечных разностей
Метод конечных разностей основан на замене производных их приближенным значением, выраженным через разности значений функции в отдельных дискретных точках - узлах сетки. Дифференциальное уравнение в результате таких преобразований заменяется эквивалентным соотношением в конечных разностях, решение которого сводится к выполнению несложных алгебраических операций. Окончательный результат решения дается выражением, по которому значение «будущего» потенциала (температуры) в данной точке (узле) является функцией времени, ее «настоящего» потенциала и «настоящего» потенциала смежных узловых точек. Повторяемость одинаковых операций при расчете полей температуры создает большие удобства для применения современной вычислительной техники, благодаря чему эффективность работы во много раз увеличивается.
Приближенную замену первой и второй производных через разностные отношения можно провести элементарно следующим образом [8]. Пусть дана функция y=f(x), график которой представлен на рис. 1. Если через обозначить угол, образованный с положительным направлением оси абсцисс касательной к кривой, проведенной в точке , то производная функция при определится по формуле
. (1)
Возьмем на кривой две соседние точки и так, чтобы разности были бы достаточно малы, и приближенно заменим на , или (или, что то же самое, рассмотрим вместо касательной MT одну из секущих MP или AM). Тогда
, (2)
или
. (3)
Если же угловой коэффициент касательной MT приближенно заменить угловым коэффициентом секущей AP, то
. (4)
Правые части формул (2)-(4) называются соответственно: разностным отношением вперед, разностным отношением назад и симметричным разностным отношением.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Приближенное значение второй производной функции y=f(x) при может быть получено элементарно, если заменить кривую на участке AP ломанной линией AMP, имеющей в точке M два наклона, т. е.
. (5)
Разумеется, приведенные формулы (2)-(5) замены производных разностными отношениями не является единственно возможными. Иногда бывает целесообразно проводить другие замены, однако при численном интегрировании уравнений теплопроводности наиболее часто применяют именно эти формулы.
Рассмотрим, например, одномерное уравнение теплопроводности для изолированного тонкого стержня длиной L:
, . (6)
Так как функция зависит от двух переменных x и , то используем сетку прямоугольного типа (рис. 2). На оси абсцисс откладываем отрезок длиною L и делим его на n равных частей. Полученный шаг на оси абсцисс обозначим через . Точки деления (узлы) на оси x имеют абсциссы x=0, x=h, …,x=L.
По оси ординат отложим значения времени ф через равные промежутки l. Проводим через полученные узлы на осях ординат прямые, параллельные координатным осям, которые образуют прямоугольную сетку. Значения T в узлах, лежащих на осях координат и на прямой, параллельной оси ординат и расположенной от нее на расстоянии L, находится из начального и граничных условий.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задача приближенного численного интегрирования уравнения (6) по методу сеток состоит в нахождении приближенного значения функции T в каждом узле сетки.
Обозначим через истинное значение температуры в точке стержня x=ih в момент ф=kl, т. е. в узле, отмеченном на рис. 2, символом i, k.
Заменим частные производные и в точке (ih, kl) через разностные отношения по формулам (2)- (5), т. е. положим:
; (7)
; (8)
где и - остаточные члены, стремящиеся к нулю при стремлении к нулю l и h. Тогда в узле (ih, kl) дифференциальное уравнение (6) заменится следующим соотношением: