Метричні простори

контрольная работа

1. Поняття метрики. Визначення метричного простору

Означення 1.1. Кажуть, що непорожня множина X надiлена метрикою (мiж елементами множини X задано вiдстань), якщо задана вiдповiднiсть d, яка кожнiй парi елементiв x i y з X вiдносить число d(x, y) i задовольняє такi умови (аксiоми):

1. ?x, y ?Xd(x, y) ? 0) i d(x, y) = 0 ??x = y);

2. ?x, y ?Xd(x, y) = d(y, x) (аксiома симетрiї);

3. ?x, y, z ?Xd(x, y) ? d(x, z) + d(z, y) (аксiома трикутника).

Iнакше, функцiя d: X Ч X > R, яка задовольняє умови 1?-3?, називається вiдстанню (або метрикою).

Означення 1.2. Непорожню множину X iз заданою у нiй метрикою d називають метричним простором i позначають(X, d). Елементи множини X називають точками метричного простору, а значення функцiї d для точок x i y -- вiдстанню мiж точками x i y.

Надiлити множину X метрикою означає задати функцію d: X Ч X > R з властивостями 1? -3?.

Зауваження. В однiй i тiй же множинi метрику можна вводити по рiзному. Так, наприклад, при f (x) = x маємо метричний простiр (R, d1), де d1(x, y) = |x ? y| евклiдова вiдстань на прямiй, а при f (x) = arctg x метричний простiр (R, d2), де d2(x, y) = | arctg x ? arctg y| є вiдстань, яка характерна тим, що для будь-яких двох точок прямої вона не може перевищувати число р.

Зауважимо також, що будь-яку непорожню множину можна надiлити так званою тривiальною метрикою. Однак теорiя метричних просторiв з такою метрикою (простiр з дискретною метрикою) занадто "убога", щоб бути предметом вивчення.

Делись добром ;)