Многомерная геометрия
§ 2. Понятие векторного многомерного пространства на основе аксиоматики Вейля.
В векторной аксиоматике понятие вектора является одним из основных (необходимых) понятий. Понятие числа тоже будем считать основным понятием и исходить из того, что теория действительного числа известна. Свойства операций сложения векторов и умножения вектора на действительные числа примем за аксиомы. Тогда можно дать аксиоматическое определение векторного пространства.
Пусть V - некоторое непустое множество, элементы которого будем называть векторами, и которые могут быть произвольной природы, R - множество действительных чисел. Введём для векторов операции сложения векторов и умножения вектора на действительные числа из R такие, чтоа) любым двум векторам a и b поставлен в соответствие определённый вектор, называемый суммой и обозначаемый a+b;б) любому вектору a и любому действительному числу б поставлен в соответствие определённый вектор, называемый произведением вектора на число и обозначаемый через ба. И пусть при этом выполняются следующие свойства аксиомы:1. a+b=b+a для любых векторов a и b из V ;2. (a+b)+с=a+(b+c), для любых векторов a, b, c V.3. Существует такой вектор О V, что а+О=а;4. Для любого вектора а V существует такой вектор - a V , что а+(- а)=O;5. для любых чисел и V;6. для любого числа R и любых векторов a и b из V;7. 1? а = а для любого вектора а V.
Тогда множество V называется действительным линейным векторным пространством или векторным пространством. Введённое определение не накладывает никаких ограничений на природу элементов множества V, поэтому могут существовать различные векторные пространства.
Примеры:Векторное пространство V1 - множество векторов на прямой;Векторное пространство V2 - множество векторов на плоскости;Векторное пространство V3 - множество векторов пространства трёх измерений; Множество различных многочленов от одной переменной также составляет векторное пространство. «Векторами» являются многочлены.Используя утверждения, что в обычном пространстве трёх измеренийсуществует три линейно независимых вектора, то есть выполняется равенство:
, когда ;
Любая система, состоящая более, чем из 3-х векторов этого пространства, линейно зависима.
Продолжая строить аксиоматическую теорию векторных пространств, введём следующее определение.
Определение: Векторное пространство V называется n-мерным, если в нём выполняются аксиомы:
9. В векторном пространстве V существуют n линейно независимых векторов.
10. Любая система, состоящая более, чем из n векторов пространства V, линейно зависима.
Число n называется размерностью векторного пространства и обозначается символом dim V , а само пространство будем обозначать символом Vn. Базисом n-мерного векторного пространства Vn называется любая упорядоченная система векторов, таких, что система линейно независима; любой вектор пространства Vn является линейной комбинацией данной системы векторов. Базис не может иметь более трёх векторов и менее чем три вектора. Очевидно, что базис пространства V3 будем называть 3-мерным и обозначать В = (е1, е2, е3), где векторы е1, е2, е3 называются базисными. Из аксиом 9 и 10 следует, что в n-мерном векторном пространстве Vn существует хотя бы один базис, состоящий из n векторов. Можно доказать, что в Vn существует бесчисленное множество базисов и любой из них состоит из n векторов. N-мерный базис будем обозначать В = (е1, е2,…, еn), а векторы е1, е2,…, еn называть базисными. Следствие: Любая система, состоящая более чем из трёх векторов обычного пространства трёх измерений, линейно зависима.