Многомерная геометрия

дипломная работа

§ 3. Евклидово векторное пространство

Строя аксиоматическую теорию аналитической геометрии на векторной основе, введём следующее определение.

Определение 1: Скалярным произведением на векторном пространстве V называется операция, которая любой паре векторов a и b ставит в соответствие некоторое действительное число, обозначаем символом a b и обладающее следующими свойствами:11. Для любых векторов a, b V и любого вектора a b= b а;12. Для любых двух векторов a, b V и любого числа .13. Для любых трёх векторов a, b, c V ;14. Для любого ненулевого вектора а V aa>0.

Определение 2: Векторное пространство Vn, в котором введена операция скалярного произведения векторов, удовлетворяющая аксиомам 11-14, называется евклидовым векторным пространством. Будем обозначать его символом Еn.

На основе определения 1 можно ввести понятие длины вектора и величины угла между векторами.

Число аа называется скалярным квадратом вектора а и обозначается а2. Из аксиомы 14 следует, что а2>0, следовательно, - действительное положительное число. Оно называется длиной или нормой вектора и обозначается: . Если 1, то вектор а называется единичным.

На основе аксиом 11-14 можно указать следующие утверждения: Для любых векторов a, b1, b2,…, bn выполняется равенство

.

, где а - произвольный вектор;Если , то , а если , то ;Если , то .

Можно показать, что если , то вектор является единичным, его называют ортом вектора а. Он определяет то же направление, что и вектор а.

При решении метрических задач, т. е. задач, связанных с измерением длин векторов и величин углов, пользуются ортонормированным базисом.

Определение: Базис называется ортонормированным, если все его векторы единичные и попарно ортогональны, т. е. если и () при .

Теорема. В евклидовом пространстве Еn существуют ортонормированные базисы.

Действительно, если (а1, а2,…, аn) - ортогональный базис, то можно рассмотреть векторы

, ,…, .

Ясно, что базис (е1, е2,…, еn) ортонормированный, так как его векторы единичные и попарно ортогональны.

Введём обозначения: В=(i, j) или B=(i, j, k) - ортонормированные базисы евклидовых векторных пространств Е2 и Е3 соответственно.

Делись добром ;)