§ 6. Геометрия k-плоскостей в аффинном и евклидовом пространствах

Определение k-плоскости

Пусть в n-мерном аффинном пространстве U_n зафиксирована произвольная точка А, и в соответствующем линейном пространстве L_n зафиксировано произвольное k-мерное подпространство L_k.

Определение. Множество всех точек М аффинного пространства, для которых АМ L_k, называют k-мерной плоскостью, проходящей через точку А в направлении подпространством L_k.

Рис. 11, где k = 2

Говорят также, что L_k есть направляющее подпространство этой плоскости. Очевидно, что каждая плоскость определяет однозначно своё направляющее пространство.

Точку М называют текущей точкой плоскости. На рисунке показаны три положения М₁, М₂, М₃ текущей точки М.

Частные случаи k-плоскостей

Если k = 0, то плоскость состоит из одной точки А. Поэтому каждую точку аффинного пространства можно рассматривать как нуль-мерную плоскость.

Одномерная плоскость называется прямой линией.

Плоскость размерности n - 1 называется гиперплоскостью.

При k = n плоскость совпадает со всем пространством U_n.

В определении плоскости выделена точка А. Докажем, что в действительности все точки плоскости равноправны.

Обозначим плоскость через П_k и зафиксируем произвольную точку В . Надо доказать, что точка М принадлежит плоскости П_k тогда и только тогда, когда (т. е. что любая точка М может играть роль А).

Пусть . По определению плоскости . Отсюда и по определению подпространства , поэтому . Обратно, если , то следовательно, .

Рис. 12

Теорема. Всякая k-мерная плоскость в аффинном пространстве сама является k-мерным аффинным пространством.

Доказательство. Пусть дано аффинное пространство U, которому соответствует линейное пространство L, пусть П_k - плоскость, проходящая через точку А в направлении подпространства L_k. Возьмём в плоскости П_k две произвольные точки M, N . По определению аффинного пространства им соответствует вектор . По определению плоскости векторы АМ и АN принадлежат подпространству L_k.

Следовательно, . Таким образом, каждой упорядоченной паре точек М, N плоскости П_k, поставим в соответствие вектор MN из k-мерного пространства L_k. При этом соблюдаются для П_k аксиомы, вытекающие из определения k-мерной плоскости и для всего аффинного пространства U. Теорема доказана.

Замечание. Если плоскость проходит через начало аффинной системы координат в направлении подпространства L_k, то совокупность радиус-векторов её точек образует подпространство, по определению совпадающее с подпространством L_k.

Пусть в аффинном пространстве U даны точки А₀, А₁,…, А_k (в числе k + 1). Эти точки находятся в общем положении, если они не принадлежат ни одной (k -1)-мерной плоскости .

Проверим, что точки А₀, А₁,…, А_k находятся в общем положении тогда и только тогда, когда векторы А₀А₁,…, А₀А_k линейно независимы (рис. 13), причём безразлично, какую из точек брать в качестве А₀ (то есть за начало векторов, идущих из неё в другие точки).

Рис. 13

Из сказанного в этом пункте и из определения плоскости следует, что через систему точек А₀, А₁,…, А_k, находящихся в общем положении, проходит k-мерная плоскость и притом только одна.

Предположим, что в пространстве U_n зафиксирована какая-нибудь аффинная система координат с началом О и базисом е₁, е₂, …, е_n. Рассмотрим плоскость П_k, проходящую через точку А в направлении подпространства L_k.

Будем считать, что точка А имеет координаты р₁, р₂, …, р_n и что L_k задаётся как независимая система векторов q₁, q₂, …, q_k. Тогда радиус-вектор ОМ текущей точки плоскости можно записать в виде

(6. 1)

где параметры ф₁, ф₂, …, ф_k независимо друг от друга пробегают всевозможные числовые значения, а вектор (рис. 14)

Рис. 14

Разложим вектор q₁, q₂, …, q_k по базису е₁, е₂, …, е_n:

Координаты текущей точки М обозначим, как обычно, через (x₁, x₂, …, x_n) и запишем векторное равенство в координатах. В результате получим n числовых равенств.

(6. 2)

Эти равенства называются параметрическими уравнениями плоскости П_k.

Пример. Пространство, изучаемое в стереометрии, является трёхмерным аффинным пространством. В нём одномерные и двумерные плоскости совпадают соответственно с прямыми линиями и плоскостями, понимаемыми в элементарно-геометрическом смысле. В отличие от пространства, изучаемого в элементарной геометрии, в аффинном пространстве не определены метрические понятия: расстояния между точками и длины линий, площади и объёмы фигур, углы и перпендикулярность. При исследовании фигур в аффинном пространстве изучаются лишь те геометрические свойства, которые не зависят от метрических понятий.

2. Уравнения k-плоскости по k+1 точкам

Если заданы k+1 точек А₀(х₀), А₁(х₁), …, А_n(х_n) и векторы А₀А_{а =} х_а - х₀ независимы, то эти точки определяют единственную k - плоскость, проходящую через них: в этом случае за направляющие векторы этой плоскости можно принять векторы А₀А_а и векторное уравнение k-плоскости можно записать в виде

(6. 3)

Будем называть k-плоскость, определяемую точками А₀(х₀), А₁(х₁), …, А_n(х_n), k-плоскостью А₀, А₁, …, А_k.

Случай k = n-1

В дальнейшем будем часто иметь дело с k-поверхностями и k-плоскостями при k = n - 1. Говоря, «поверхность n-пространства» и «плоскость n-пространства», но иметь в виду (n - 1)-поверхность и (n - 1)-плоскость этого пространства. Часто поверхность и плоскость называется соответственно гиперповерхностью и гиперплоскостью.

Поверхность можно задать одним координатным уравнением

(6. 4)

если координаты xⁱ, удовлетворяющие этому уравнению, можно представить как функции n - 1 параметров t₁, t₂, …, t_n-1, то получим

F(x) = 0. (6. 5)

3. Взаимное расположение плоскостей

3. 1 Пересекающиеся плоскости

Во всём этом пункте размерности плоскостей и подпространств обозначены индексами снизу. Пусть две плоскости П_k и П_l пересекаются, то их пересечением является некоторая плоскость П_m.

k = l = 2, m = 1 Рис. 15

Замечание 1. Не исключена возможность, что П_m состоит из одной точки (m = 0). Это видно на примере двух пересекающихся прямых или прямой и плоскости (рис. 16).

Рис. 16

В общем случае по одной точке могут пересекаться две плоскости, сумма разностей которых не превышает размерности пространства, например, двумерные плоскости в четырёхмерном пространстве.

Замечание 2. Не исключено и другое, когда одна из двух плоскостей целиком принадлежит другой. Например, , тогда (рис. 17)

k = m = 1, l = 2

Рис. 17

2) Если плоскости П_k и П_l пересекаются по плоскости П_m, то существует единственная плоскость П_r, размерности r = k + l - m, содержащая П_k и П_l, причём ни в какой плоскости меньшей размерности П_k и П_l не могут одновременно поместиться. Направляющее подпространство L_r плоскости П_r является суммой направляющих подпространств L_k и L_l. Эта сумма является прямой суммой тогда и только тогда, когда П_k и П_l пересекаются по одной точке (m = 0, см. рис. 18).

Рис. 18

В частном случае, когда n = k + l - m, роль плоскости П_r выполняет всё пространство U_n (при r = n = 3 см. рис. 15).

3) Если пересекающиеся плоскости П_k и П_l содержатся в какой-нибудь плоскости П_r, то размерность их пересечения . В частности, для любых двух непересекающихся плоскостей из U_n.

4) Если плоскости П_k и П_l проходят через точку А в направлении подпространств L_k и L_l соответственно и если L_k содержится в L_l, то плоскость П_k содержится в плоскости П_l. Если при этом k = l, то П_k совпадает с П_l (также и L_k совпадает с L_l).

Параллельные плоскости

Пусть теперь плоскость П_k определяется точкой А и подпространством L_k, а плоскость П_l - точкой В и подпространством L_l. Будем считать, что .

Определение: Плоскость П_k параллельна плоскости П_l, если .

В этом случае плоскость П_l параллельна плоскости П_k.

Замечание 1. Согласно этому определению включение является частным случаем параллельности.

Замечание 2. Если П_k параллельна П_l, причём k = l, то L_k совпадает с L_l.

Замечание 3. Убедимся, что при n = 3 частные случаи k = l = 1,

k = l = 2 и k =1, l = 2 согласуются с понятием параллельности прямых и плоскостей, известным из элементарной геометрии (рис. 19)

а) б) в)

Рис. 19

Пусть в произвольной аффинной системе координат две плоскости П и П^l одинаковой размерности заданы системами линейных уравнений. Пользуясь определением параллельности, нетрудно установить следующее утверждение.

Утверждение. Для того, чтобы П и П были параллельными, необходимо и достаточно, чтобы соответствующие однородные системы уравнений были эквивалентны.

В частности, две гиперплоскости параллельны тогда и только тогда, когда в одних и тех же координатах они задаются уравнениями

и (6. 6)

 (6. 7)

с пропорциональными коэффициентами при переменных:

.

Теорема 1. Пусть в аффинном пространстве U_n даны плоскость П_k и точка В. Тогда существует единственная плоскость размерности k, проходящая через точку В параллельно П_k. Если , то совпадает с П_k; если точка В расположена вне П_k, то плоскости П_k и не пересекаются.

Скрещивающиеся плоскости

Определение. Две плоскости называются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны.

Известно, что в трёхмерном пространстве U₃ две прямые линии, т. е. одномерные плоскости, могут скрещиваться, тогда как прямая линия и двумерная плоскость в U₃ скрещиваться не могут. С повышением размерности пространства оно становится более просторным, в результате чего появляется возможность строить в нём скрещивающиеся плоскости разных размерностей, а не только одномерные. Ниже сформулирована теорема 2, содержание которой можно рассматривать как общий приём построения скрещивающихся плоскостей. Именно, пусть в аффинном пространстве U_n дана плоскость П_l (l < n). Возьмём произвольную плоскость П_k так, чтобы П_k и П_l не были параллельны и пересекались; плоскость, по которой они пересекаются, обозначим через П_m. Пусть П_r - плоскость наименьшей размерности, содержащая П_k и П_l. Мы знаем, что r = k + l - m.

Теорема 2. Если , то всякая k-мерная плоскость, которая параллельна П_k и не лежит в П_r, скрещивается с П_l.

Следствие. Если целые числа k, l, m, n удовлетворяют неравенствам

, , , то в U_n найдутся скрещивающиеся плоскости П_k и П_l с направляющими подпространствами L_k и L_l, пересечение которых имеет размерность m.

Доказательство теоремы 2. Так как , то плоскость П_r не исчерпывает собой всего пространства U_n. Это позволяет взять (с большим произволом) точку С, не лежащую в П_r. Обозначим через плоскость размерности k, проходящую через точку С, параллельно П_k. Ясно, что не содержится в П_r и что, выбирая по-разному точку С, мы можем получить любую k-мерную плоскость, удовлетворяющую условию теоремы. (См. рис. 14, на котором k = l = 2, r = 2, n = 4, и трёхмерные плоскости условно изображены в виде параллелепипеда).

Рис. 20

Докажем, что плоскости П_l и скрещиваются. Заметим, что плоскость не параллельна П_l, так как в противном случае или , или , что противоречит условию расположения плоскостей П_k и П_l.

Теперь докажем, что и П_l не пересекаются. Проведём через точку С вспомогательную r-мерную плоскость , параллельную П_r. Тогда и поэтому П_k не может пересечь П_l ибо в противном случае точка их пересечения принадлежала бы параллельным плоскостям П_r и . Следовательно, скрещивается с П_l. Теорема 2 доказана.

Пусть в n-мерном аффинном пространстве U_n даны скрещивающиеся плоскости П_k и П_l с направляющими подпространствами L_k и L_l, причём