Многомерные последовательности Фибоначчи

реферат

3. Некоторые зависимости между мнимыми тройками

Теперь расширим понятие Ma[b]. Определим её для всех целых a. Для этого введём понятие «первообразной».

Первообразной от аддитивной тройки Т1 назовём такую аддитивную тройку Т0, что производная первым способом от неё равна аддитивной тройке Т1. При этом стоит отметить, что не каждая первообразная является натуральной тройкой, то есть не все числа в первообразной натуральны.

Первообразные от троек считаются по следующему правилу:

Аналогичным образом можно определить «N раз производную» и «N раз первообразную» - это композиции N подряд идущих функций либо f, либо g, либо f-1. Поместим первообразную от аддитивной тройки Ma[b] во множество Ma-1,

то есть f-1(Ma[b])=Ma-1[b]. Таким образом, многомерная последовательность Фибоначчи определена Ma[b] для всех целых b.

Теперь полученную 3х-мерную последовательность Фибоначчи можно изобразить так:

17

Итак, определены все аддитивные тройки Ma[b], где b - натуральное, a целое. В частности, рассмотрим аддитивные тройки вида M1[i], то есть тройки, находящиеся в первом ряду.

Каждая такая аддитивная тройка имеет вид (xi+yi, xi, yi) и определяется двумя числами: xi и yi.

Рассмотрим последовательность Фибоначчи, в которой первые два числа равны соответственно xi и yi, а каждое число, начиная с третьего по-прежнему равняется сумме двух предыдущих. Зная числа xi, yi i-того столбца можно вычислить все аддитивные тройки в этом столбце, по аналогии с первым столбцом.

Итак, имеют место следующие равенства:

M3k+1[i]=(F3k+3, F3k+1, F3k+2)

M1[i]=(xi+yi, xi, yi)

M3k+2[i]=(F3k+3, F3k+4, F3k+2)

F1=xi, F2=yi

M3k[i]=(F3k, F3k+1, F3k+2)

Fn+2=Fn+1 + Fn

Понятно, что если мы найдём первую аддитивную тройку некоторого столбца, то сможем вычислить и все остальные тройки этого столбца. Ниже записаны первые тройки столбцов с номерами от 1 до 10.

M1[1]=(2, 1, 1)

M1[2]=(1, 0, 1)

M1[3]=(2, 3, -1)

M1[4]=(1, 1, 0)

M1[5]=(-2, -7, 5)

M1[6]=(-1, 4, 3)

M1[7]=(8, 19, -11)

M1[8]=(5, 12, -7)

M1[9]=(4, 9, -5)

M1[10]=(3, 7, -4)

Ниже изложен алгоритм по нахождению общего члена последовательности. Для начала определим ряд Фибоначчи для всех целых чисел. F-n=(-1)n+1Fn .

Далее определим формулу для «N раз производной» (эта же формула выполняется для «N раз первообразной»)

Пусть исходная тройка имеет вид:

Тогда её производные равны:

Теперь вычислим все элементы первой строки рекуррентно, но с маленьким числом действий.

17

Для начала заметим, что каждое число n большее 4 лежит между двумя удвоенными числами Фибоначчи. (2Fi-1n2Fi) Каждому n поставим в соответствие номер i и назовём это «обратной функцией Фибоначчи» для n. Где это используется при решении задачи? Оказывается, такая «обратная функция» от n указывает на номер строки, в которой первый раз для данного столбца встречается натуральная тройка. Действительно, количество элементов каждой строки (кроме первой) равняется удвоенному соответствующему числу Фибоначчи. Назовём такую обратную функцию lF(N).

Теперь, опускаясь из тройки первого столбца в первую натуральную тройку, и далее поднимаясь по стрелке (так как такая тройка всегда образована с помощью производной «вторым способом»), нетрудно проверить справедливость следующей формулы:

Например,

Наряду с общей формулой, для всех натуральных троек верна более простая, рекуррентная, которая следует из определения (эта формула для мнимых троек, вообще говоря, не выполняется):

Делись добром ;)