4. Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа -- интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

Интеграл Лапласа имеет вид:

(5)

где интегрирование производится по некоторому контуру L_в плоскости комплексного переменного z, ставящий в соответствие функции f(z), определенной на L, аналитическую функцию F(p) комплексного переменного p=s+it. Многие интегралы вида (5) были рассмотрены П. Лапласом.

В узком смысле под преобразованием Лапласа подразумевают одностороннее преобразование Лапласа

, (6)

называемое так в отличие от двустороннего преобразования Лапласа

 (7)

Преобразование Лапласа - частный вид интегральных преобразований;. преобразования вида (6) или (7) тесно связаны с Фурье преобразованием. Двустороннее преобразование Лапласа (7) можно рассматривать как преобразование Фурье функции , одностороннее преобразование Лапласа (6) - как преобразование Фурье функции j(t) равной при 0 < t < ? и равной нулю при -? < t < 0.

Подынтегральная комплексная локально суммируемая функция f(t) называется функцией-оригиналом, или просто оригиналом; в приложениях часто удобно трактовать переменное t как время. Функция F(p)=L[f], (р) называется также преобразованием Лапласа оригинала f(t) или изображением по Лапласу. Интеграл (6) понимается, вообще говоря, как условно сходящийся на бесконечности.

Априори возможны три случая:

1) существует действительное число такое, что интеграл (6) сходится при , а при - расходится; это число у_с называется абсциссой (условной) сходимости;

2) интеграл (6) сходится при всех р, в этом случае полагают ;

3) интеграл (6) расходится при всех р, в этом случае полагают

Если , то интеграл (6) представляет однозначную аналитическую функцию F(p) в полуплоскости сходимости . Обычно ограничиваются рассмотрением абсолютно сходящихся интегралов (6). Точная нижняя грань тех s, для которых существует интеграл , называется абсциссой абсолютной сходимости

Если а - есть нижняя грань тех s, для которых число а иногда называют показателем роста оригинала f(t).

При некоторых дополнительных условиях оригинал f(t) однозначно восстанавливается по своему F(p). Например, если f(t) имеет ограниченную вариацию в окрестности точки t₀ или если f(t) кусочногладкая, то имеет место формула обращения преобразования Лапласа:

(8)

Формулы (6) и (8) позволяют получить ряд соотношений между операциями, производимыми над оригиналами и изображениями, а также таблицу изображений для часто встречающихся оригиналов. Все это составляет элементарную часть операционного исчисления.

В математической физике важные применения находит многомерное преобразование Лапласа:

(9)

где t = (t₁, ……, t_n)

-точка re-мерного евклидова пространства

Rⁿ, p = (p₁, ……, p_n) = у + iф = (у₁, ……, у_n) + (ф₁, ……, ф_n)

-точка комплексного пространства

Cⁿ, n?1, (p,t) = (у,t)+i(ф,t) = p₁t₁ + … +p_nt_n

-скалярное произведение, dt = dt₁…dt_n - элемент объема в Rⁿ. Комплексная функция f(t) в (9) определена и локально суммируема в области интегрирования

-положительном координатном угле пространства Rⁿ. Если функция f(t) ограничена в C^*, то интеграл (9) существует во всех точках удовлетворяющих условию Re(p,t)>0, , которое определяет снова положительный координатный угол

Интеграл (9) определяет голоморфную функцию комплексных переменных p = (p₁ ,- p_n) в трубчатой области пространства с основанием S. В более общем случае в качестве области интегрирования в (9) и основания Sтрубчатой области можно взять любую пару сопряженных замкнутых выпуклых острых конусов в пространстве с вершиной в начале координат. При n=1 формула (9) переходит в (6), причем - положительная полуось и - правая полуплоскость. Преобразование Лапласа (9) определено и голоморфно и для функций f(t) гораздо более широких классов. Элементарные свойства преобразования Лапласа с соответствующими изменениями остаются справедливыми и для многомерного случая.

Численное преобразование Лапласа - численное выполнение преобразования (6), переводящего оригинал f(t), 0<t<? в изображение F(p),, а также численное обращение преобразования Лапласа, т. е. численное нахождение f(t) из интегрального уравнения (6) либо по формуле обращения (8).

Необходимость применения численного преобразования Лапласа возникает вследствие того, что таблицы оригиналов и изображений охватывают далеко не все встречающиеся в практике случаи, а также вследствие того, что оригинал или изображение зачастую выражаются слишком сложными, неудобными для применений формулами.

Проблема обращения преобразования Лапласа, как задача отыскания решения f(x) интегрального уравнения первого рода (6), относится к классу некорректных задач и может быть решена, в частности, посредством регуляризирующего алгоритма.

Задачу численного обращения преобразования Лапласа можно также решать методами, основанными на разложении функции-оригинала в функциональный ряд. Сюда в первую очередь можно отнести разложение в степенной ряд, в обобщенный степенной ряд, в ряд по показательным функциям, а также в ряды по ортогональным функциям, в частности по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби и Лагерра. Задача разложения оригинала в ряды по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби в окончательном своем виде сводится к проблеме моментов на конечном промежутке. Пусть известно преобразование Лапласа F(p) функции в(t)f(t):

где f(t) - искомая функция, а в(t) - неотрицательная, интегрируемая на [0,?) функция. Предполагается, что функция f(t) интегрируема на любом конечном отрезке [0, Т] и принадлежит классу L₂(в(t), 0, ?).По изображению F(р).функции в(t), f(t), функция f(t) строится в виде ряда по смещенным многочленам Якоби, в частности по смещенным многочленам Лежандра, Чебышева первого и второго рода, коэффициенты которого a_k вычисляются по формуле.

где - коэффициенты смещенного многочлена Лежандра, Чебышева первого и второго рода соответственно, записанных в виде

Другим приемом численного обращения преобразования Лапласа является построение квадратурных формул для интеграла обращения (8).