Введение

Теория многочленов представляет один из центральных разделов современной алгебры. Понятие многочлена от одной переменной возникло в связи с задачей решения алгебраических уравнений от одной переменной, которой занимались уже в глубокой древности. В XVI веке итальянскими математиками были найдены формулы для решения уравнений третьей и четвертой степени. Позднее Н.Абель и П.Руффини доказали, что, начиная с пятой степени, общей формулы, использующей, кроме сложения и умножения, лишь извлечение корней, не существует, а Э.Галуа открыл закономерности поведения корней, приложимые к каждому конкретному уравнению.

Параллельно с этим К.Гаусс доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что всякий многочлен (коэффициенты многочлена могут быть не только вещественными, но и комплексными числами) имеет хотя бы один корень (возможно, являющийся не вещественным, а комплексным числом). В дальнейшем многие ученые занимались изучением многочленов. Я.Бернулли, Э.Безу, У.Горнер, Ж.Лагранж, П.Чебышев, С.Эйзенштейн, Д.Гильберт и многие другие известные математики открыли немало нового и удивительного о многочленах, ставшего впоследствии привычным и обыкновенным.

В XX веке роль многочленов стала меняться. Буквы, входящие в многочлен, стали играть роль символов, не связанную с их конкретными значениями. Современная математика изучает и использует в общем случае многочлены от одной переменной, у которых коэффициенты а₀, а₁, …, а_n являются объектами произвольной природы, а не только числами. Самые разные области математики и ее приложений стали использовать символьное исчисление многочленов, не зависящее от теории функций (математическая логика, топология, теория информации, дискретная и компьютерная математика и т.д.).

С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе. Изучение многочленов обогатило математику, позволило расширить понятие числа и доказать основную теорему алгебры.

Среди многочленов от одной переменной важное место занимают многочлены Чебышева. Чебышев Пафнутий Львович - великий русский математик и механик, академик Петербургской Академии наук. В научном наследии П.Л. Чебышева насчитывается более 80 работ. Математические достижения П.Л.Чебышева в основном получены в следующих областях: теория чисел, теория вероятностей, проблема наилучшего приближения функций и общая теория многочленов, теория интегрирования функций. П.Л.Чебышев открыл класс специальных многочленов, носящих его имя и в наши дни. Многочлены Чебышева, Чебышева-Лагерра, Чебышева-Эрмита и их разновидности играют большую роль в математике и в разнообразных приложениях. Чебышевская теория наилучшего приближения функций многочленами находит применение в решении геодезических и картографических задач, в решении алгебраических уравнений. В рассматриваемой теории Чебышева содержатся идеи общей теории ортогональных многочленов.

В курсовой работе изучаются основные положения теории многочленов. Курсовая работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы. Глава 1 носит вспомогательный характер. Здесь приводятся все используемые в работе определения и обозначения. Основное содержание курсовой работы представлено в главах 2 и 3. Глава 2 посвящена изучению основных положений теории многочленов от одной переменной. В главе 3 проводится исследование многочленов Чебышева. Данная глава состоит из 2 разделов. В первом разделе рассматривается определение и изучаются простейшие свойства многочленов Чебышева. Второй раздел посвящен исследованию основных теорем о многочленах Чебышева. Автором курсовой работы изучены и детально изложены центральные результаты о многочленах Чебышева, представленные в книге В.В. Прасолова «Многочлены» [1].