Многочлены Чебышева и их основные свойства
Глава 1. Обозначения, определения и известные результаты, используемые в работе
Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на множестве называется правило или закон, по которому любым двум элементам из , необязательно различным, взятым в указанном порядке, ставится в соответствие единственный элемент из .
Определение бинарной алгебраической операции можно сформулировать также следующим образом.
Определение 1?. Бинарной алгебраической операцией на множестве называется отображение . Вместо пишут . Бинарные алгебраические операции в общем виде обозначают символами и другими.
Определение 2. Непустое множество с определённой на нём бинарной алгебраической операцией называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):
1) операция ассоциативна на , т.е.
;
2) в существует нейтральный элемент относительно операции , т.е.
;
3) для каждого элемента из в существует симметричный ему элемент относительно операции , т. е. .
Определение 3. Группа относительно операции называется абелевой, если операция коммутативна на , т. е. .
Определение 4. Группа относительно операции сложения называется аддитивной.
Определение 5. Группа относительно операции умножения называется мультипликативной.
Определение 6. Непустое множество с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы кольца):
1. - аддитивная абелева группа, т.е.
а) ассоциативность сложения на
;
б) ;
в) ;
г) коммутативность сложения на
.
2. В выполняются дистрибутивные законы, т.е.
а) - правый дистрибутивный закон,
б) - левый дистрибутивный закон.
Определение 7. Кольцо называется ассоциативным, если операция умножения ассоциативна на , т.е. .
Определение 8. Кольцо называется коммутативным, если операция умножения коммутативна на , т.е. .
Определение 9. Кольцо называется ассоциативно-коммутатитвным, если - ассоциативное кольцо и коммутативное кольцо.
Определение 10. Кольцо называется кольцом с единицей, если в существует единичный элемент, т.е. .
Определение 11. Элементы и кольца называются делителями нуля, если , но .
Определение 12. Ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля называется областью целостности.
Определение 13. Пусть - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Элементы и кольца называются ассоциированными в и обозначаются , если и .
Определение 14. Пусть - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Элемент называется обратимым в кольце , если в кольце найдется обратный к нему элемент, т.е. такой элемент , что . Иначе, элемент называется необратимым элементом .
Определение 15. Полем называется ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, в котором любой ненулевой элемент обратим.
Определение 15. Непустое множество с определёнными на нём бинарными алгебраическими операциями и называется полем, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы поля):
1. - аддитивная абелева группа, т.е.
а) ассоциативность операции , т.е.
;
б) ;
в) ;
г) коммутативность операции , т.е. .
2. В выполняются дистрибутивные законы, т.е.
а) - правый дистрибутивный закон;
б) - левый дистрибутивный закон.
3. - мультипликативная абелева группа, т.е.
а) ассоциативность операции , т.е.
;
б) ;
в) ;
г) коммутативность операции , т.е. .
Определение 16. Множество называется числовым, если .
Определение 17. Поле называется числовым, если оно является числовым множеством, т.е. .