Многочлены Чебышева и их основные свойства

курсовая работа

3.2 Основные теоремы о многочленах Чебышева

Определение 5. Многочлены называют ортогональными многочленами на отрезке с весовой функцией , если и при .

В пространстве многочленов степени не более задают скалярное произведение формулой .

Ортогональные многочлены образуют ортогональный базис в пространстве с таким скалярным произведением.

Если задан отрезок и весовая функция, то ортогональные многочлены определены однозначно с точность до пропорциональности. В самом деле, они получаются в результате ортогонализации базиса

Наиболее известны следующие ортогональные многочлены:

Название

-1

1

1

многочлены Лежандра

-1

1

многочлены Гегенбауэра

-1

1

многочлены Якоби

многочлены Эрмита

0

многочлены Лагерра

Теорема 6. Многочлены Чебышева образуют ортогональную систему многочленов на отрезке с весовой функцией .

Доказательство. Сделаем замену . Получим

при . Теорема доказана.

Следствие 2. Если - многочлен степени и

при , то , где - некоторое число.

Доказательство. В пространстве со скалярным произведением

ортогональное дополнение к подпространству, порожденному многочленами , порождено многочленом Чебышева . Следствие доказано.

Теорема 7. Многочлены Чебышева можно вычислять по формуле

.

Доказательство. Индукцией по доказывается, что при , где - многочлен степени , причем , и

при .

Следовательно, - многочлен степени .

Проверим, что , т.е.

при . Интегрируя по частям получаем

Первое слагаемое равно нулю, так как при . Затем интегрируем по частям второе слагаемое и т.д. Чтобы в конце концов получить нуль, необходимо проинтегрировать по частям раз. При этом на последнем шаге возникнет дифференциал . Это означает, что число должно быть неотрицательно, т.е. .

Остается проверить, что . Для этого вычисляют . Действительно, что при рекуррентное соотношение

принимает вид . Таким образом,

. Кроме того, . Теорема доказана.

Теорема 8. Пусть многочлен , где , таков, что при . Тогда при .

Доказательство. Воспользуемся тем, что при , . Многочлен полностью определяется значениями .

Где

Дифференцируя раз соотношение (1), получим

Так как , то

Многочлен в точке принимает значение . Поэтому

Кроме того, . Далее, при знак числа не зависит от . Действительно, все корни многочлена принадлежат отрезку . Поэтому все корни многочлена также принадлежат этому отрезку. Следовательно, при и при .

В итоге при получаем

В этом случае из неравенства (2) следует, что Теорема доказана.

Теорема 9. Пусть многочлен , где , таков, что при . Тогда .

Доказательство. Так как , где , то по теореме 8 при получим . Теорема доказана.

Теорема 10. При и при выполняется неравенство .

Доказательство. Для многочлена выполняется условие теоремы 8. Поэтому . Теорема доказана.

Теорема 11. При выполняется неравенство
.

Доказательство. Пусть . Рассмотрим многочлен . Проверим, что многочлен удовлетворяет условию теоремы 8, т.е. что при . При вещественном функция зависит только от , причем если , то монотонно возрастает с возрастанием . Кроме того,

при . Следовательно, если и , то .

Согласно теореме 8 при выполняется неравенство , т.е. . Теорема доказана.

Определение 6. Для последовательности функций рассматривают ряд . Если радиус сходимости данного ряда положителен, то функцию называют производящей функцией последовательности .

Теорема 12. При и выполняются следующие равенства:

(а)

(б) .

Доказательство.

а) Пусть . Тогда . Поэтому . Кроме того,

при . Следовательно,

Теорема доказана.

б) Продифференцировав по обе части равенства (а), получим

Следовательно,

Теорема доказана.

Теорема 13. Пусть и . Тогда

Доказательство. Согласно теореме 12 (а),

Поэтому

Суммирование ведется до тех пор, пока . Поэтому . Теорема доказана.

Для многочлена :

где

При выполняется равенство

а при выполняется равенство

Таким образом, если , а при многочлены задаются формулой (1), то выполняется соотношение

где

Соотношения (1) и (2) можно записать следующим образом. Пусть и , где - некоторое фиксированное число. Тогда

(при второе соотношение принимает вид ). Покажем, что соотношения (3) эквивалентны не только для указанных последовательностей, но и для произвольных последовательностей. Заметим, что первое соотношение имеет вид , а второе соотношение имеет вид . Поэтому каждое соотношение однозначно определяет как последовательность по последовательности , так и последовательность по последовательности . Для последовательностей , , где и - фиксированные наборы чисел, соотношения (3) эквивалентны, поскольку они эквивалентны для последовательностей , . Проверим, что для любой последовательности можно подобрать такие числа и , что

при . Выберем произвольные попарно различные числа . Тогда для чисел получим систему линейных уравнений с определителем

Эта система уравнений имеет решение при любых .

Соотношение (3) позволяют получать нетривиальные тождества с биномиальными коэффициентами. Пусть, например, при всех . Тогда

Данные тождества получаются из разложений и по биному Ньютона. В таком случае соотношение

принимает вид

Делись добром ;)