Многочлены Чебышева и их основные свойства
3.2 Основные теоремы о многочленах Чебышева
Определение 5. Многочлены называют ортогональными многочленами на отрезке с весовой функцией , если и при .
В пространстве многочленов степени не более задают скалярное произведение формулой .
Ортогональные многочлены образуют ортогональный базис в пространстве с таким скалярным произведением.
Если задан отрезок и весовая функция, то ортогональные многочлены определены однозначно с точность до пропорциональности. В самом деле, они получаются в результате ортогонализации базиса
Наиболее известны следующие ортогональные многочлены:
Название |
||||
-1 |
1 |
1 |
многочлены Лежандра |
|
-1 |
1 |
многочлены Гегенбауэра |
||
-1 |
1 |
многочлены Якоби |
||
многочлены Эрмита |
||||
0 |
многочлены Лагерра |
Теорема 6. Многочлены Чебышева образуют ортогональную систему многочленов на отрезке с весовой функцией .
Доказательство. Сделаем замену . Получим
при . Теорема доказана.
Следствие 2. Если - многочлен степени и
при , то , где - некоторое число.
Доказательство. В пространстве со скалярным произведением
ортогональное дополнение к подпространству, порожденному многочленами , порождено многочленом Чебышева . Следствие доказано.
Теорема 7. Многочлены Чебышева можно вычислять по формуле
.
Доказательство. Индукцией по доказывается, что при , где - многочлен степени , причем , и
при .
Следовательно, - многочлен степени .
Проверим, что , т.е.
при . Интегрируя по частям получаем
Первое слагаемое равно нулю, так как при . Затем интегрируем по частям второе слагаемое и т.д. Чтобы в конце концов получить нуль, необходимо проинтегрировать по частям раз. При этом на последнем шаге возникнет дифференциал . Это означает, что число должно быть неотрицательно, т.е. .
Остается проверить, что . Для этого вычисляют . Действительно, что при рекуррентное соотношение
принимает вид . Таким образом,
. Кроме того, . Теорема доказана.
Теорема 8. Пусть многочлен , где , таков, что при . Тогда при .
Доказательство. Воспользуемся тем, что при , . Многочлен полностью определяется значениями .
Где
Дифференцируя раз соотношение (1), получим
Так как , то
Многочлен в точке принимает значение . Поэтому
Кроме того, . Далее, при знак числа не зависит от . Действительно, все корни многочлена принадлежат отрезку . Поэтому все корни многочлена также принадлежат этому отрезку. Следовательно, при и при .
В итоге при получаем
В этом случае из неравенства (2) следует, что Теорема доказана.
Теорема 9. Пусть многочлен , где , таков, что при . Тогда .
Доказательство. Так как , где , то по теореме 8 при получим . Теорема доказана.
Теорема 10. При и при выполняется неравенство .
Доказательство. Для многочлена выполняется условие теоремы 8. Поэтому . Теорема доказана.
Теорема 11. При выполняется неравенство
.
Доказательство. Пусть . Рассмотрим многочлен . Проверим, что многочлен удовлетворяет условию теоремы 8, т.е. что при . При вещественном функция зависит только от , причем если , то монотонно возрастает с возрастанием . Кроме того,
при . Следовательно, если и , то .
Согласно теореме 8 при выполняется неравенство , т.е. . Теорема доказана.
Определение 6. Для последовательности функций рассматривают ряд . Если радиус сходимости данного ряда положителен, то функцию называют производящей функцией последовательности .
Теорема 12. При и выполняются следующие равенства:
(а)
(б) .
Доказательство.
а) Пусть . Тогда . Поэтому . Кроме того,
при . Следовательно,
Теорема доказана.
б) Продифференцировав по обе части равенства (а), получим
Следовательно,
Теорема доказана.
Теорема 13. Пусть и . Тогда
Доказательство. Согласно теореме 12 (а),
Поэтому
Суммирование ведется до тех пор, пока . Поэтому . Теорема доказана.
Для многочлена :
где
При выполняется равенство
а при выполняется равенство
Таким образом, если , а при многочлены задаются формулой (1), то выполняется соотношение
где
Соотношения (1) и (2) можно записать следующим образом. Пусть и , где - некоторое фиксированное число. Тогда
(при второе соотношение принимает вид ). Покажем, что соотношения (3) эквивалентны не только для указанных последовательностей, но и для произвольных последовательностей. Заметим, что первое соотношение имеет вид , а второе соотношение имеет вид . Поэтому каждое соотношение однозначно определяет как последовательность по последовательности , так и последовательность по последовательности . Для последовательностей , , где и - фиксированные наборы чисел, соотношения (3) эквивалентны, поскольку они эквивалентны для последовательностей , . Проверим, что для любой последовательности можно подобрать такие числа и , что
при . Выберем произвольные попарно различные числа . Тогда для чисел получим систему линейных уравнений с определителем
Эта система уравнений имеет решение при любых .
Соотношение (3) позволяют получать нетривиальные тождества с биномиальными коэффициентами. Пусть, например, при всех . Тогда
Данные тождества получаются из разложений и по биному Ньютона. В таком случае соотношение
принимает вид