2. Формулировка математической модели и ее описание
парашютист падение сопротивление математическая модель
При построении математической модели необходимо соблюдение следующих условий:
- манекен массой 50 кг соответственно падают в воздухе с плотностью 1,225 кг/м3;
- на движение влияют только силы линейного и квадратичного сопротивления;
- площадь сечения тела S=0.4 м2;
Тогда для свободно падающего тела под действием сил сопротивления закон Ньютона примет вид:
,
где a - ускорение тела, м/с2,
m - его масса, кг,
g - ускорение свободного падения на земле, g = 9,8 м/с2,
v - скорость тела, м/c,
k1 - линейный коэффициент пропорциональности, примем k1 = в = 6рмl (м - динамическая вязкость среды, для воздуха м = 0,0182 Н.с.м-2; l - эффективная длина, примем для среднестатистического человека при росте 1,7 м и соответствующем обхвате грудной клетки l = 0,4 м),
k2 - квадратичный коэффициент пропорциональности. K2 = б = С2сS. В данном случае достоверно можно узнать лишь плотность воздуха, а площадь манекена S и коэффициент лобового сопротивления С2 для него определить сложно, можно воспользоваться полученными экспериментальными данными и принять K2 = б = 0,2.
Тогда получим закон Ньютона в дифференциальном виде:
Так как
Тогда можно составить систему дифференциальных уравнений:
Математическая модель при падении тела в гравитационном поле с учетом сопротивления воздуха выражается системой из двух дифференциальных уравнений первого порядка.