Модуль неперервності та його властивості

курсовая работа

5. Класи функцій, що визначаються першими модулями неперервності

Користуючись поняттям модуля неперервності, введемо такі класи функцій.

Означення 1.

При кожному фіксованому класом Гельдера (або Ліпшиця) порядку називається множина всіх неперервних функцій , модуль неперервності кожної з яких задовольняє умові

(1)

де - будь-яка додатна стала, яка не залежить від і яка, взагалі кажучи, є різною для різних функцій. Цей клас позначається або .

Через або (або ) позначається підклас усіх тих функцій з класу Гельдера (Ліпшиця) порядку , для яких умова (1) виконується при одному і тому ж фіксованому значенні сталої . Очевидно, що якщо то тоді тим більше

Навпаки, якщо то при деякому (може бути, досить великому)

Зауваження 1.

Так як на підставі властивості 6) ніякий модуль неперервності при не може бути нескінченно малою більш високого порядку, ніж , то при нерівність (1) стає неможливою і, отже, не має сенсу розгляд класів при

З розглянутих нами раніше прикладів видно, що при всіх :

1. , отже, тим більше

2. при

3. і в той же час при будь-якому

де ,

Так як модуль неперервності в теорії наближень відіграє важливу роль лише при достатньо малих значеннях то ми завжди будемо вважати, що Тоді для будь-яких буде .

Звідси випливає, що при Іншими словами, клас тим ширше, чим менше порядок .

Серед усіх класів Гельдера порядку найбільше значення має клас . Цей клас часто називають класом Ліпшиця і позначають через або

Теорема 1.

Для того щоб функція при необхідно і достатньо, щоб вона була абсолютно неперервною і щоб майже всюди

задовольняла нерівність

Доведення

Необхідність

Нехай тобто нехай Покажемо, що в такому випадку функція абсолютно неперервна. Справді, візьмемо довільне і будь-яку сукупність елементарних непересічних відрізків таких, що не перетинаються

Так як

то функція дійсно є абсолютно неперервною на і, отже, має майже всюди скінченну похідну , яка задовольняє (в тих точках , де вона існує) нерівності

Достатність

Нехай - абсолютно неперервна функція і майже всюди Покажемо, що в такому разі Дійсно, так як абсолютно неперервна, то вона є неозначеним інтегралом від своєї похідної і, отже, при всіх і таких, що отримаємо

А це і означає, що , тобто

Означення 2.

Кажуть, що неперервна функція задовольняє умові Діні-Ліпшиця, якщо

при (2)

Легко бачити, що якщо при будь-якому , то

, тобто будь-яка функція , що належать будь-якому класу Гельдера, обовязково задовольняє умові Діні-Ліпшиця. Те, що протилежне твердження невірно, видно, наприклад, з розгляду функції

для якої і яка задовольняє умові Діні-Ліпшиця і в той же час не належить ніякому класу

Природним узагальненням класів Гельдера є так звані класи

Означення 3.

Нехай - будь-яка функція, що є модулем неперервності, і - стала. Тоді через позначимо клас усіх неперервних функцій , для кожної з яких

(3)

а через - множину всіх функцій, кожна з яких, при будь-якому належить класу .

У множині диференційовних функцій важливу роль відіграють класи функцій, які визначаються в такий спосіб.

Означення 4.

Позначимо при фіксованому натуральному через

і т. д. класи функцій , кожна з яких має абсолютно неперервні похідні до порядку і у яких -та похідна належить відповідно класам Крім того, при будемо вважати, що

У випадку, якщо нам буде бажано вказати проміжок , на якому заданий який-небудь клас функцій, ми, наприклад, замість і т. д. будемо писати і т. д., а у випадку, якщо функції даного класу є ще -періодичними і ми цей факт хочемо підкреслити, то будемо такий клас позначати через і т. д.

Делись добром ;)