Неевклидова геометрия

реферат

5. Практическое применение геометрии Лобачевского.

1) Теорема Пифагора.

Теорема. Для всякого прямоугольного треугольника плоскости Лобачевского выполняется равенство ch c = ch a ·ch b, где a, b - длины катетов, c - длина гипотенузы этого треугольника, а ch x=(гиперболический косинус).

Доказательство. Воспользуемся моделью Пуанкаре плоскости Лобачевского на евклидовой полуплоскости. Будем считать (см. рисунок ниже), что вершинам A, B, C данного прямоугольного треугольника соответствуют комплексные числа где так как этого всегда можно добиться с помощью некоторого неевклидова движения.

Используя формулу

для вычисления неевклидова расстояния между точками z и w в H2, получаем, что

Почленное перемножение двух первых соотношений и приводит, как показывает третье соотношение, к завершению доказательства теоремы.

Делись добром ;)