Некоторые приложения неполных дифференциальных уравнений второго порядка

курсовая работа

2.2.1 Геометрические приложения

Радиус кривизны в произвольной точке кривой равен кубу длины нормали в этой точке. Найти уравнение кривой, проходящей через точку и в этой точке параллельной оси абсцисс.

Решение. Длина нормали . По условию задачи получаем дифференциальное уравнение искомого семейства

или

Решая это дифференциальное уравнение, находим

. (12)

Дополнительные условия: кривая проходит через точку и при . Отсюда

или . (13)

Так как, дифференцируя уравнение (12), находим

, то . (14)

Для определения постоянных интегрирования имеем систему уравнений (13) и (14). Из равенства (14) находим , т.е. или . Если , то уравнение (13) дает , следовательно, и . Тогда из уравнения (13) . Подставляем значения и в общее решение (12) и получаем уравнение искомой кривой

.

2.2.2 Движение материальной точки под действием силы притяжения

Материальная точка массой движется по прямой линии к центру (рис.3), притягивающему ее с силой , где - расстояние точки от центра. Движение начинается с состояния покоя при . Найти время, по истечении которого точка достигнет центра.

Рис.3.

Решение. По условию задачи в любой момент на точку действует сила . Отсюда получаем дифференциальное уравнение движения

или .

Решая его как уравнение типа , находим общее решение

. (15)

Начальные условия: при и . Из первого условия имеем:

.

Второе условие

или .

Для определения постоянных интегрирования и имеем систему

откуда

. (16)

Подставляя значения (16) в общее решение (15), получим

.

Когда точка достигает центра , расстояние и искомое время

.

2.3 Уравнения типа

Делись добром ;)