Некоторые приложения неполных дифференциальных уравнений второго порядка
2.2.1 Геометрические приложения
Радиус кривизны в произвольной точке кривой равен кубу длины нормали в этой точке. Найти уравнение кривой, проходящей через точку и в этой точке параллельной оси абсцисс.
Решение. Длина нормали . По условию задачи получаем дифференциальное уравнение искомого семейства
или
Решая это дифференциальное уравнение, находим
. (12)
Дополнительные условия: кривая проходит через точку и при . Отсюда
или . (13)
Так как, дифференцируя уравнение (12), находим
, то . (14)
Для определения постоянных интегрирования имеем систему уравнений (13) и (14). Из равенства (14) находим , т.е. или . Если , то уравнение (13) дает , следовательно, и . Тогда из уравнения (13) . Подставляем значения и в общее решение (12) и получаем уравнение искомой кривой
.
2.2.2 Движение материальной точки под действием силы притяжения
Материальная точка массой движется по прямой линии к центру (рис.3), притягивающему ее с силой , где - расстояние точки от центра. Движение начинается с состояния покоя при . Найти время, по истечении которого точка достигнет центра.
Рис.3.
Решение. По условию задачи в любой момент на точку действует сила . Отсюда получаем дифференциальное уравнение движения
или .
Решая его как уравнение типа , находим общее решение
. (15)
Начальные условия: при и . Из первого условия имеем:
.
Второе условие
или .
Для определения постоянных интегрирования и имеем систему
откуда
. (16)
Подставляя значения (16) в общее решение (15), получим
.
Когда точка достигает центра , расстояние и искомое время
.
2.3 Уравнения типа