Некоторые приложения неполных дифференциальных уравнений второго порядка
2.3.2 Движение пули внутри вещества
Пуля входит в брус толщиной 12 см со скоростью 200 м/сек, а вылетает, пробив его, со скоростью 60 м/сек.
Брус сопротивляется движению пули с силой, пропорциональной квадрату скорости движения (рис.4).
Найти время движения пули через брус.
Рис.4.
Решение. Внутри бруса в любой момент на пулю действует сила сопротивления бруса .
Она направлена против движения, а по величине пропорциональна квадрату скорости движения пули в данный момент.
Таким образом,
.
На основании второго закона динамики сила равна произведению массы точки на ускорение , которое сообщается точке, т.е.
.
Сопоставляя уравнения, получим
. (19)
Как известно, скорость точки
, (20)
а ускорение
. (21)
Здесь - путь, - время.
Подставляя значения и в дифференциальной форме из равенств (20) и (21) в уравнение (19), получим дифференциальное уравнение движения
. (22)
Уравнение (22) представляет собой неполное линейное уравнение второго порядка типа
и решается методом понижения порядка путем введения новой искомой функции:
(23)
Применение этого метода для рассматриваемого уравнения (22) приводит к следующему:
.
Уравнение (22) примет вид
.
Разделяя переменные и ,
.
и почленно интегрируя, получаем
.
Подставляем значение и интегрируем еще раз:
;
;
. (24)
Для перехода от общего решения (24) к частному решению определим значения произвольных постоянных и по условию задачи.
Начальные условия: при и м/сек.
Кроме того, продифференцировав уравнение (24), получим
. (25)
Из уравнения (25) определим :
,
а из уравнения (24) - :
или .
Подставляя найденные значения и в общее решение (24), получим частное решение, изображающее уравнение движения в условиях задачи:
;
. (26)
Разрешая уравнение (26) относительно , получим
или . (27)
Как видно из уравнений (26) и (27), для определения искомого времени необходимо найти величины и .
Коэффициент пропорциональности определим из дополнительного условия: при
см = 0,12м м/сек.
Для применения этого дополнительного условия необходимо продифференцировать уравнение (26):
. (28)
Найденную величину из уравнения (27) подставляем в уравнение (28), которое примет вид
. (29)
Подстановка дополнительных условий приводит к равенству
, (30) откуда .
Анализируя полученную формулу, замечаем, что является линейной функцией и нет надобности в определении , а достаточно найти величину . Это упрощает выкладки.
Из уравнения (30)
Подставляя числовые значения величин и в уравнение (27), получим
сек.
Итак, время прохождения пули через брус равно 0,00114 сек (немногим более одной тысячной доли секунды).
2.3.3 Погружение тел в воду
Подводная лодка, не имевшая хода, получив небольшую отрицательную плавучесть , погружается на глубину, двигаясь поступательно (рис.5). Сопротивление воды при небольшой отрицательной плавучести можно принять пропорциональным первой степени скорости погружения и равным , где - коэффициент пропорциональности, - площадь горизонтальной проекции лодки, - скорость погружения. Масса лодки равна .
Найти:
1) скорость погружения , если при начальная скорость ;
2) путь, пройденный погружающейся лодкой за время .
Рис.5.
Решение. Проектируя действующие при погружении лодки силы на вертикальную ось, получаем дифференциальное уравнение движения
. (31)
Здесь - произведение массы на ускорение (сила тяжести погружающейся лодки), - сопротивление воды.
Вводя подстановку и деля уравнение (31) на , получим
. (32)
В уравнении (32) отделяем переменные и приходим к равенству
. (33)
Интегрируя уравнение (33), получаем зависимость
. (34)
Постоянную определяем из начального условия: при :
.
Таким образом, уравнение (34) принимает вид
.
После простых алгебраических преобразований найдем искомую скорость погружения:
, , . (35)
Для определения пути, пройденного погружающейся лодкой за время , уравнение (35) переписываем в виде
или .
Интегрируя это уравнение первого порядка с разделенными переменными, находим путь в зависимости от времени:
. (36)
Определим постоянную , используя для этого начальное условие задачи: при .
Из уравнения (36) получим
или . (37)
Тогда искомое частное решение
. (38)
При пройденный путь выразится соотношением
. (40)
2.4 Уравнения типа
Пусть дано уравнение
, (41)
не содержащее явно искомой функции .
Здесь порядок уравнения понижается при помощи замены
,
где - новая неизвестная функция.
Действительно, , поэтому уравнение (41) принимает вид - уравнение уже первого порядка. Пусть - общее решение полученного уравнения. Заменяя функцию на , получаем уравнение первого порядка с разделяющимися переменными . Решая это уравнение, можно получить - общее решение уравнения (41).
При решении задачи Коши для уравнений второго порядка бывает целесообразно определять значения постоянных в процессе решения, а не после нахождения общего решения уравнения. Это связано с тем, что интегрирование порой значительно упрощается, когда постоянные принимают конкретные числовые значения, в то время как при их произвольных значениях интегрирование затруднительно, а то и вообще невозможно в элементарных функциях.
Пример. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .
Решение. Так как уравнение не содержит явно искомую функцию , то сделаем замену , откуда . Получили уравнение первого порядка для новой функции : . Это уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяем переменные и интегрируем:
.
Таким образом, . Используя начальные условия, получаем . Следовательно, , а после интегрирования . Начальные условия дают . Итак, частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид .
2.4.1 Кривая и радиус кривизны
В точке кривая параллельна оси абсцисс. В любой точке радиус кривизны равен квадрату абсциссы этой точки. Найти уравнение кривой.
Решение. По условию задачи и, приравнивая это значение дифференциальной формуле радиуса кривизны, получаем дифференциальное уравнение искомого семейства кривых
.
Решение этого дифференциального уравнения типа приводит к первому интегралу
, где .
Постоянную интегрирования определяем из дополнительного условия: в точке кривая параллельна оси абсцисс, т.е. при , откуда
или .
Первый интеграл принимает вид
или .
Интегрируя далее, получим второй интеграл
. (42)
Так как кривая проходит через точку , то
или .
Подставляя найденные значения в интеграл (42), получим уравнение искомой кривой
.