Некоторые приложения неполных дифференциальных уравнений второго порядка

курсовая работа

2.3.2 Движение пули внутри вещества

Пуля входит в брус толщиной 12 см со скоростью 200 м/сек, а вылетает, пробив его, со скоростью 60 м/сек.

Брус сопротивляется движению пули с силой, пропорциональной квадрату скорости движения (рис.4).

Найти время движения пули через брус.

Рис.4.

Решение. Внутри бруса в любой момент на пулю действует сила сопротивления бруса .

Она направлена против движения, а по величине пропорциональна квадрату скорости движения пули в данный момент.

Таким образом,

.

На основании второго закона динамики сила равна произведению массы точки на ускорение , которое сообщается точке, т.е.

.

Сопоставляя уравнения, получим

. (19)

Как известно, скорость точки

, (20)

а ускорение

. (21)

Здесь - путь, - время.

Подставляя значения и в дифференциальной форме из равенств (20) и (21) в уравнение (19), получим дифференциальное уравнение движения

. (22)

Уравнение (22) представляет собой неполное линейное уравнение второго порядка типа

и решается методом понижения порядка путем введения новой искомой функции:

(23)

Применение этого метода для рассматриваемого уравнения (22) приводит к следующему:

.

Уравнение (22) примет вид

.

Разделяя переменные и ,

.

и почленно интегрируя, получаем

.

Подставляем значение и интегрируем еще раз:

;

;

. (24)

Для перехода от общего решения (24) к частному решению определим значения произвольных постоянных и по условию задачи.

Начальные условия: при и м/сек.

Кроме того, продифференцировав уравнение (24), получим

. (25)

Из уравнения (25) определим :

,

а из уравнения (24) - :

или .

Подставляя найденные значения и в общее решение (24), получим частное решение, изображающее уравнение движения в условиях задачи:

;

. (26)

Разрешая уравнение (26) относительно , получим

или . (27)

Как видно из уравнений (26) и (27), для определения искомого времени необходимо найти величины и .

Коэффициент пропорциональности определим из дополнительного условия: при

см = 0,12м м/сек.

Для применения этого дополнительного условия необходимо продифференцировать уравнение (26):

. (28)

Найденную величину из уравнения (27) подставляем в уравнение (28), которое примет вид

. (29)

Подстановка дополнительных условий приводит к равенству

, (30) откуда .

Анализируя полученную формулу, замечаем, что является линейной функцией и нет надобности в определении , а достаточно найти величину . Это упрощает выкладки.

Из уравнения (30)

Подставляя числовые значения величин и в уравнение (27), получим

сек.

Итак, время прохождения пули через брус равно 0,00114 сек (немногим более одной тысячной доли секунды).

2.3.3 Погружение тел в воду

Подводная лодка, не имевшая хода, получив небольшую отрицательную плавучесть , погружается на глубину, двигаясь поступательно (рис.5). Сопротивление воды при небольшой отрицательной плавучести можно принять пропорциональным первой степени скорости погружения и равным , где - коэффициент пропорциональности, - площадь горизонтальной проекции лодки, - скорость погружения. Масса лодки равна .

Найти:

1) скорость погружения , если при начальная скорость ;

2) путь, пройденный погружающейся лодкой за время .

Рис.5.

Решение. Проектируя действующие при погружении лодки силы на вертикальную ось, получаем дифференциальное уравнение движения

. (31)

Здесь - произведение массы на ускорение (сила тяжести погружающейся лодки), - сопротивление воды.

Вводя подстановку и деля уравнение (31) на , получим

. (32)

В уравнении (32) отделяем переменные и приходим к равенству

. (33)

Интегрируя уравнение (33), получаем зависимость

. (34)

Постоянную определяем из начального условия: при :

.

Таким образом, уравнение (34) принимает вид

.

После простых алгебраических преобразований найдем искомую скорость погружения:

, , . (35)

Для определения пути, пройденного погружающейся лодкой за время , уравнение (35) переписываем в виде

или .

Интегрируя это уравнение первого порядка с разделенными переменными, находим путь в зависимости от времени:

. (36)

Определим постоянную , используя для этого начальное условие задачи: при .

Из уравнения (36) получим

или . (37)

Тогда искомое частное решение

. (38)

При пройденный путь выразится соотношением

. (40)

2.4 Уравнения типа

Пусть дано уравнение

, (41)

не содержащее явно искомой функции .

Здесь порядок уравнения понижается при помощи замены

,

где - новая неизвестная функция.

Действительно, , поэтому уравнение (41) принимает вид - уравнение уже первого порядка. Пусть - общее решение полученного уравнения. Заменяя функцию на , получаем уравнение первого порядка с разделяющимися переменными . Решая это уравнение, можно получить - общее решение уравнения (41).

При решении задачи Коши для уравнений второго порядка бывает целесообразно определять значения постоянных в процессе решения, а не после нахождения общего решения уравнения. Это связано с тем, что интегрирование порой значительно упрощается, когда постоянные принимают конкретные числовые значения, в то время как при их произвольных значениях интегрирование затруднительно, а то и вообще невозможно в элементарных функциях.

Пример. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Так как уравнение не содержит явно искомую функцию , то сделаем замену , откуда . Получили уравнение первого порядка для новой функции : . Это уравнение с разделяющимися переменными.

Разделяем переменные и интегрируем:

.

Таким образом, . Используя начальные условия, получаем . Следовательно, , а после интегрирования . Начальные условия дают . Итак, частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид .

2.4.1 Кривая и радиус кривизны

В точке кривая параллельна оси абсцисс. В любой точке радиус кривизны равен квадрату абсциссы этой точки. Найти уравнение кривой.

Решение. По условию задачи и, приравнивая это значение дифференциальной формуле радиуса кривизны, получаем дифференциальное уравнение искомого семейства кривых

.

Решение этого дифференциального уравнения типа приводит к первому интегралу

, где .

Постоянную интегрирования определяем из дополнительного условия: в точке кривая параллельна оси абсцисс, т.е. при , откуда

или .

Первый интеграл принимает вид

или .

Интегрируя далее, получим второй интеграл

. (42)

Так как кривая проходит через точку , то

или .

Подставляя найденные значения в интеграл (42), получим уравнение искомой кривой

.

Делись добром ;)