Некоторые приложения неполных дифференциальных уравнений второго порядка

курсовая работа

2.5 Уравнения типа

Пусть дано уравнение

, (43)

не содержащее явно независимой переменной .

Здесь порядок уравнения можно понизить за счёт введения новой независимой переменной (вместо ) по формуле

,

где - новая неизвестная функция.

Действительно, используя правило дифференцирования сложной функции, имеем , Епоэтому уравнение (43) принимает вид - уравнение первого порядка.

Пусть - общее решение полученного уравнения. Заменяя функцию на , получаем уравнение первого порядка с разделяющимися переменными .

Интегрируя его, находим общий интеграл уравнения (43):

.

Пример. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

Решение.

Так как в уравнении явно отсутствует переменная , то сделаем замену

.

Исходное уравнение преобразуется к виду:

.

Рассмотрим два случая:

а) ;

б) .

Заменив на , получим

.

Общее решение в случае а) входит в общее решение в случае б) при .

Найдём постоянные и :

Таким образом, частное решение: .

Делись добром ;)