1. Дифференциальное уравнение с начальными данными

Рассмотрим дифференциальное уравнение, зависящее от параметра:

где f: , область. Предположим, что в области удовлетворяет условию Липшица по x локально:

.

По теореме (существования и единственности) Пусть f: G> удовлетворяет условию Липшица по x в области G локально. Тогда:

1) для любой начальной точки G существует решение задачи Коши, определенное на отрезке Пеано;

2) область G есть область единственности. G =область единственности для системы при каждом фиксированном м. Рассмотрим функцию решение системы с начальными данными определенную на множестве

где максимальный интервал существования.

Теорема 1. При сделанных предположениях область и непрерывна в .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего покажем, что связно. Пусть , . Построим путь г, лежащий в и соединяющий и . Из определения следует, что по . Кроме того, так как по смыслу понятия максимального интервала существования , то множество

- область гиперплоскости , лежащая в . Отсюда получаем следующий способ построения г: точки и соединяем отрезками прямых с точками и соответственно, а эти последние точки соединяем любым путем, лежащим в .

Теперь нужно доказать, что существует такое, что если , то и ее окрестность также принадлежит и непрерывна в . Пусть решение с начальными данными , соответствующее . По определению оно определенно при . Образуем при и при . Продолжая было определено на .

Отсюда следует, что достаточно доказать следующее утверждение, равносильное теореме 1.

Теорема . Пусть в предположениях теоремы 1 дифференциальное уравнение имеет решение , определенное на отрезке . Тогда существует такое, что решение при :

определено при и функция непрерывна на множестве

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем и зафиксируем столь малое , чтобы замкнутая область

принадлежала . Поскольку компакт в силу леммы Если удовлетворяет условию Липшица (по ) в глобально, то она удовлетворяет условию Липшица и локально. Если же удовлетворяет в условию Липшица локально, то она удовлетворяет условию Липшица на любом компактном подмножестве области ( глобально). f удовлетворяет на условию Липшица по ( глобально) с некоторой постоянной Липшица L. Далее, так как f непрерывна в области , то она равномерно непрерывна на. Следовательно, любому соответствует множество чисел , обладающих свойством

Пусть теперь удовлетворяет неравенству

а любое число из множества такое, что

Покажем, что выбранное таким образом искомое. Пусть Решение будем строить методом последовательных приближений Пикара Метод позволяет получить приближенное решение дифференциального уравнения . За нулевое приближение возьмем

-e приближение определяется рекуррентным соотношение

Лемма 1. При всех последовательные приближения , определяемые формулами , , обладают следующими свойствами:

1) непрерывная функция.

2)

3)

Лемму 1 докажем индукцией по . Сначала докажем 1), 2), 3) при . Справедливость 1) при вытекает из . Справедливость 2) при следует из и , так как

Докажем справедливость 3) при . В силу

Учитывая, что решение уравнения при , имеем

следовательно,

Очевидно, что Кроме, того в силу справедливости 2) при . Используя определение , получаем, что при

откуда и вытекает 3) при .

Предположим теперь, что утверждения 1) - 3) леммы 1

Справедливы для приближений с номерами 0, 1, … , . Докажем их справедливость для -го приближения.

а) Согласно п.2) индукционного предположения аргумент подынтегральной функции в принадлежит , согласно п.1) функция непрерывна, следовательно, подынтегральной функция непрерывна как суперпозиция непрерывных функций, откуда и следует непрерывность .

б) Достаточно доказать, что

Имеем

Отсюда, используя п.3) индукционного предположения , ,, получаем оценку

в) В силу

Используя утверждение п.2) леммы для приближений с номерами и и учитывая, что удовлетворяет на условию Липшица с постоянной , из имеем

при . В силу п.3) индуцированного предположения

что и доказывает справедливость п.в) для приближений с номером . Лемма 1 доказана.

Вопрос о сходимости последовательности заменяем эквивалентным вопросом о сходимости ряда

где , . В силу п.3) леммы 1 ряд сходится равномерно относительно к предельной функции . Так как непрерывны, то и непрерывная функция. Далее, так как f удовлетворяет на условию Липшица по , то

f.

Следовательно, в можно перейти к пределу под знаком интеграла. Имеем

т. е. решение уравнения с начальными данными . Теорема 1 доказана.

Следствие. Если , где временный интервал, область пространства , и все решения продолжим на интервал , то функция непрерывна в области .

В частности, для линейной системы

где непрерывная функция, фундаментальная матрица Ц, нормированная при , непрерывна в области .